Demikian pula kondisi ii dapat digabung dengan kondisi i menjadi :
1
= ∂
∂ −
∂ ∂
∑
= j
i m
i i
j
x g
x f
λ atau 0
≤ jika =
j
x untuk
m j
,..., 2
, 1
=
Ketika m=0 tidak ada kendala yang berbentuk fungsi, jumlahan berbilai 0 dan fungsi gabungan i,ii menjadi kondisi yang ada. Oleh karena itu, untuk m0, tiap
suku dalam jumlahan mengubah kondisi untuk m=0 dengan memasukkan pengaruh dari kendala berbentuk fungsi yang bersangkutan.
Dalam kondisi diatas,
i
μ setara dengan variabel dual dalam pemrogramana linier dan memiliki interpretasi ekonomi yang juga dapat diperbandingkan. Akan
tetapi,
i
μ juga ada dalam penurunan matematika seperti dalam faktor pengali Lagrange. Pada kondisi iii dan v hanya melakukan penegasan kelayakan dari
solusi. Kondisi yang lainnya menghilangkan sebagian besar solusi layak lainnya menjadi kandidat yang mungkin untuk menjadi solusi optimal.
Corollary
Diasumsikan bahwa x
f merupakan fungsi konkaf dan
,..., ,
2 1
x g
x g
x g
m
merupakan fungsi konveks misalakan saja masalah ini merupakan masalah pemrograman konveks, dengan semua fungsi ini memenuhi kondisi biasa. Lalu
,..., ,
2 1
n
x x
x x
= adalah solusi optimal jika dan hanya jika semua kondisi teorema
terpenuhi.
2.7 Masalah Komplementaritas
Saat kita berhadapan dengan pemrograman kuadratis, maka kita harus mengetahui terlebih dahulu bagaimana menyelesaikan permasalahan pemrograman
nonlinier tertentu dapat direduksi menjadi memecahkan masalah komplementaritas. Dengan variabel
p
w w
w ,...,
,
2 1
dan
p
z z
z ,...,
,
2 1
, masalah komplementaritas bertujuan menemukan solusi layak untuk kendala
z F
w =
≥ w
≥ z
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Yang juga memenuhi kendala komplementaritas =
z w
T
Disini, w dan z adalah vektor kolom. F adalah fungsi bernilai vektor yang diketahui, dan T menandakan transpose matriks. Masalah ini tidak memiliki fungsi tujuan,
sehingga secara teknis bukanlah murni masalah pemrograman nonlinier. Hal ini disebut masalah komplementaritas karena hubungan komplementernya.
= w
atau =
i
z atau kedua-duanya untuk
p i
,..., 2
, 1
= Suatu kasus khusus yang penting yaitu masalh komplementaritas linier dengan
Mz q
z F
+ =
Dengan q merupakan vektor kolom yang diketahui dan M adalah matriks pxp yang diketahui. Algoritma yang efisien telah dikembangkan untuk pemecahan masalah ini
dengan asumsi tertentu tentang sifat matriks M. satu jenis algoritma menggunakan pemutaran pivoting dari satu solusi BF Basic Feasible kesolusi BF selanjutnya,
seperti metode simpleks dalam pemrograman linier. Masalah komplementaritas ini memiliki aplikasi dalam teori permainan,
masalah keseimbangan ekonomi, dan masalah keseimbangan teknik sebagai tambahan sebagai aplikasi dari pemrograman nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
BAB 3 PEMBAHASAN
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu, optimasi fungsi tak bersyarat dan optimasi fungsi bersyarat. Kita sudah mengenal beberapa cara untuk
menyelesaikan bentuk yang pertama seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua, untuk fungsi satu variabel, serta uji parsial kedua untuk fungsi dua variabel, semuanya
telah diuraikan pada bab sebelumya. Sedangkan untuk jenis yang kedua merupakan jenis yang paling banyak kita jumpai dalam kehidupan nyata. Banyak aplikasi dari
pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan
fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah tentukan nilai dari variabel
keputusan nilai ekstrim
n
x x
x x
,..., ,
2 1
= yang memaksimumkan meminimumkan
fungsi dari permasalahan: Maksimumkan minimumkan :
X f
Z =
Dengan kendala :
1 1
b X
g ≥
≤ . . . . . . . . . .
i i
b X
g ≥
≤ dengan
m ,
… 1,2,3,
= i
Dimana fX merupakan fungsi tujuan objective function, dan
i i
b X
g ,
, ≥
= ≤
merupakan fungsi kendala.
3.1 Pemrograman Kuadratis Tak Berkendala Contoh :
Maksimalkan
2
2 24
x x
x f
− −
= Dengan kendala
≥ x
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
