2.3.1 Fungsi Konveks atau Konkaf Satu Variabel
Definisi :
Fungsi satu variabel x
f disebut fungsi konveks jika setiap pasangan nilai x ,
katakanlah x′ dan x
x x
′′ ′
′′ ,
[ ]
1 1
x f
x f
x x
f ′
− +
′′ ≤
′ −
+ ′′
λ λ
λ λ
untuk semua nilai
λ yang memenuhi 1
λ . Fungsi tersebut merupakan fungsi konveks ketat
jika ≤ dapat diganti dan merupakan fungsi konkaf fungsi konkaf ketat jika
pernyataan ≤ diganti dengan ≥ atau dengan .
x f
bersifat konveks jika untuk setiap pasang titik pada grafik x
f , segmen
garis yang menghubungkan kedua titik ini terletak pada ataupun diatas grafik x
f dan begitu juga sebaliknya untuk fungsi konkaf. Tepatnya jika memeiliki turunan
kedua, maka x
f bersifat konveks jika dan hanya jika
2 2
dx x
f d
untuk setiap nilai x yang mungkin.
Uji konveksitas untuk fungsi satu variabel : Pertimbangkan fungsi satu variabel
x f
yang memeiliki turunan kedua untuk setiap nilai x yang mungkin. Dengan demikian, fungsi
x f
dapat bersifat: 1.
Konveks jika dan hanya jika
2 2
≥ dx
x f
d untuk setiap nilai x yang mungkin.
2. Konveks ketat jika dan hanya jika
2 2
dx x
f d
untuk setiap nilai x yang mungkin. 3. Konkaf jika dan hanya jika
2 2
≤ dx
x f
d untuk setiap nilai x yang mungkin.
4. Konkaf ketat jika dan hanya jika
2 2
dx x
f d
untuk setiap nilai x yang mungkin.
2.3.2 Fungsi Konveks dan Konkaf untuk Beberapa Variabel
Konsep fungsi konveks dan konkaf dari satu variabel dapat digeneralisasikan untuk fungsi dengan lebih dari satu variabel. Dengan demikian, saat
x f
digantikan dengan fungsi
n
x x
x f
,..., ,
2 1
definisi masih diterapkan apabila x digantikan oleh .
,..., ,
2 1
n
x x
x Hal yang sama, penafsiran geometri yang berhubungan juga berlaku
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
setelah generalisasi konsep titik dan segmen garis. Jadi, sama dengan nilai y
x, tertentu ditafsirkan sebagai sebuah titik dalam ruang dua dimensi. Setiap
kemungkinan nilai dari
n
x x
x ,...,
,
2 1
dapat diartikan sebagai titik dalam ruang −
m dimensi ruang Euclide.
Misalakan 1
+ = n
m , titik pada grafik
n
x x
x f
,..., ,
2 1
menjadi nilai yang mungkin dari titik
[ ]
n n
x x
x f
x x
x ,...,
, ,
,..., ,
2 1
2 1
. Kemudian,
1 2
1
, ,...,
,
+ n
n
x x
x x
dikatakan terletak di atas, tepat, atau di bawah grafik
n
x x
x f
,..., ,
2 1
tergantung pada nilai
1 +
n
x yang lebih besar, sama dengan atau lebih kecil daripada
n m
x x
x f
,..., ,
2 1
.
Definisi :
Segmen garis yang menghubungkan kedua titik
m
x x
x ′
′ ′
,..., ,
2 1
dan
m
x x
x ′′
′′ ′′
,..., ,
2 1
merupakan penjumlahan titik-titik
m
x x
x ,...,
,
2 1
= ]
1 ,...,
1 ,
1 [
2 2
1 1
m m
x x
x x
x x
′ −
+ ′′
′ −
+ ′′
′ −
+ ′′
λ λ
λ λ
λ λ
dengan 1
≤ ≤
λ . Jadi segmen garis dalam ruang
− m
dimensi merupakan generalisasi langsung dari segmen garis dalam ruang dua dimensi.
Definisi :
n
x x
x f
,..., ,
2 1
merupakan fungsi konveks jika untuk setiap pasang titik pada grafik
n
x x
x f
,..., ,
2 1
, segmen garis yang menghubungkan kedua titik tersebut seluruhnya terletak di atas atau tepat pada grafik fungsi
n
x x
x f
,..., ,
2 1
. Fungsi tersebut merupakan fungsi konveks ketat jika segmen garis tersebut seluruhnya terletak diatas
grafik kecuali pada kedua titik akhirnya. Begitu juga sebaliknya untuk fungsi konkaf dan fungsi konkaf ketat.
Turunan parsial kedua dapat digunakan untuk menguji fungsi banyak variabel konveks atau tidak, meskipun dengan cara yang lebih kompleks. Misalnya, jika
terdapat dua variabel dan semua turunan parsial ada di semua tempat, uji konveksitas menilai tiga kuantitas memenuhi pertidaksamaan yang sesuai untuk semua nilai
2 1
, x x
yang mungkin seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut ini :
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Tabel 1.1 Uji Konveksitas untuk Fungsi Dua Variabel Kuantitas Konveks
Konveks Ketat
Konkaf Kankaf Ketat
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
−
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2
, ,
, dx
dx x
x f
d dx
x x
f d
dx x
x f
d
2 1
2 1
2
, dx
x x
f d
2 2
2 1
2
, dx
x x
f d
≥ ≥
≥ ≥
≤ ≤
n
x x
x f
,..., ,
2 1
adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hessian nya
n n
− ×
positif definite untuk semua nilai
n
x x
x ,...,
,
2 1
yang mungkin. Uji konveksitas selalu diperlukan sebagai sifat umum fungsi. Akan tetapi, beberapa fungsi
nonkonveks memenuhi syarat konveksitas pada interval tertentu dari variabel. Dengan demikian, penting untuk membicarakan fungsi yang menjadi konveks pada daerah
tertentu.
2.4 Matriks Hessian