2.2.2 Masalah Transportasi dengan Diskon Volume pada Biaya Pengiriman Barang
Jenis aplikasi dari masalah transportasi dengan volume pada biaya pengiriman barang adalah menentukan rencana yang optimal untuk mengirimkan barang dari
berbagai sumber ke berbagai tempat tujuan pengiriman, dengan kendala sumber dan permintaan, dengan tujuan untuk meminimalkan total biaya pengiriman. Kita
asumsikan biaya pengiriman per unit dari sumber tertentu ke tujuan pengiriman adalah tetap, tanpa memperhatikan jumlah pengiriman. Pada kenyataannya, biaya ini
mungkin tidak tetap. Diskon volume kadang tersedia untuk pengiriman dalam jumlah yang besar sehingga biaya marginal pengiriman satu atau lebih unit mungkin akan
mengikuti pola bila jumlah pengiriman besar maka biaya marginal juga akan semakin besar begitu juga sebaliknya.
Dengan demikian hasilnya adalah biaya yang terjadi dari pengiriman x unit diberikan dalam bentuk fungsi nonlinier
x C
, yang merupakan fungsi poongan linier sama dengan biaya marginal.. konsekuensinya, jika setiap kombinasi dari sumber dan
tujuan memiliki fungsi biaya pengiriman yang sama maka biaya pengiriman
ij
x unit dari sumber
,..., 2
, 1
1 m
i =
= ke tujuan
,..., 2
, 1
1 n
j =
= dinyatakan dengan funsi
nonlinier
ij ij
x C
sehingga keseluruhan fungsi tujuan diminimalkan adalah
∑∑
= =
=
m i
n j
ij ij
x C
x f
1 1
Meskipun dengan funsi tujuan yang nonlinier, kendala dari permasalahan ini adalah kendala linier khusus yang sesuai dengan model permasalahan tranportasi.
Dari contoh-contoh kasus diatas maka dapat kita tuliskan bentuk standard dari pemrograman kuadratis yaitu
Minimumkan :
j i
n i
n j
ij n
j j
j
x x
q x
c x
f
∑∑ ∑
= =
=
+ =
1 1
1
2 1
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi
Minimumkan :
Qx x
cx x
f
T
2 1
+ =
Dengan kendala: b
Ax ≤ dan
≥ x
Dimana:
nxn
Q ℜ
∈ = matriks simetris nxn yang dikenal juga dengan matriks Hessian
mxn
A ℜ
∈ = matriks kendala
n
x ℜ
∈ = vektor kolom dari variabel keputusan
n
c ℜ
∈ = vector baris dari fungsi tujuan
m
b ℜ
∈ = vector kolom dari kendala bagian kanan
T = transposisi matriks
Adanya faktor 2
1 pada fungsi tujuan merupakan konstanta
ij
q elemen dari Q dimana
ji ij
q q
= . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka
fungsi tujuannya dinyatakan dalam
ij
q ,
j
c elemen c dan untuk tiap suku dengan j
i = dalam penjumlahan ganda
2 j
j i
x x
x =
sehingga - 2
1
ij
q merupakan koefisien dari
2 j
x . Ketika j
i ≠ maka
i j
ij j
i ij
x x
q x
x q
+ −
2 1
, sehingga
ij
q −
adalah koefisien total untuk perkalian
i
x dan
j
x .
Beberapa algoritma telah dikembangkan untuk khasus pemrograman kuadratis dengan funsi tujuan merupakan fungsi konkaf. Satu cara untuk membuktikan bahwa
fungsi tujuan merupakan fungsi konkaf adalah dengan membuktikan kondisi yang sepadan dengan
≥ Qx
x
T
. Untuk semua x yaitu Q merupakan matriks definite positif. Penyelesaian dari masalah pemrograman kuadratis ini dapat dilakukan dengan
pendekatan kondisi persyaratan Karush Kuhn Tucker kemudian dinyatakan ulang dalam bentuk yang mirip dengan program linier, sehingga mempermudah mencari
solusi optimalnya.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
2.3 Konveksitas Fungsi
Kategori