berbentuk kuadratis. Oleh karena itu, satu-satunya perbedaan antara pemrograman ini dengan pemrograman linier terletak di fungsi tujuannya yang melibatkan pangkat dua
dari variabel atau perkalian dari dua variabel. Beberapa metode telah dikembangkan untuk menyelesaikan kasus
pemrograman kuadratis dengan asumsi tambahan fungsi tujuan merupakan fungsi konkaf. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratis
adalah dengan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker. Metode ini sangat efektif untuk permasalahan optimasi nonlinier dengan kendala pertidaksamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Dengan pendekatan persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dapat diperoleh optimasi dari pemrograman kuadratis. Dalam hal ini kondisi yang perlu diperhatikan
adalah mengikuti syarat cukup agar mendapatkan nilai-nilai variabel yang optimal
untuk mencapai hasil yang diinginkan.
1.3 Tinjauan Pustaka
1. Pemrograman Kuadratis Pemrograman kuadratis adalah masalah optimasi dimana memaksimumkan
atau meminimumkan fungsi tujuan yang berbentuk kuadratis dengan fungsi kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Bentuk fungsi kuadratis dengan variabel
n
x x
x x
,..., ,
2 1
= adalah :
j k
n k
n j
kj n
j j
j
x x
q x
c x
f
∑∑ ∑
= =
=
+ =
1 1
1
2 1
Dengan menggunakan notasi matriks maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Qx x
cx x
f
T
2 1
+ =
Dengan kendala b
Ax ≤ dan
≥ x
Dimana:
nxn
Q ℜ
∈ = matriks simetris nxn yang dikenal juga dengan matriks Hessian
mxn
A ℜ
∈ = matriks kendala
n
x ℜ
∈ = vektor kolom dari variabel keputusan
n
c ℜ
∈ = vector baris dari fungsi tujuan
m
b ℜ
∈ = vector kolom dari kendala bagian kanan
T = transposisi matriks
Adanya faktor 2
1 pada fungsi tujuan merupakan konstanta
ij
q elemen dari Q dimana
ji ij
q q
= . Maka setelah melakukan perkalian matriks dan vektor maka
fungsi tujuannya dinyatakan dalam
ij
q ,
j
c elemen c dan untuk tiap suku dengan j
i = dalam penjumlahan ganda
2 j
j i
x x
x =
sehingga - 2
1
ij
q merupakan koefisien dari
2 j
x . Ketika j
i ≠ maka
i j
ij j
i ij
x x
q x
x q
+ −
2 1
, sehingga
ij
q −
adalah koefisien total untuk perkalian
i
x dan
j
x .
Ketika fungsi objektif f x adalah cembung sempurna konkaf untuk semua
daerah layak diperoleh titik yang merupakan minimum lokal dan juga global. Maka dalam kondisi seperti ini menjamin bahwa Q adalah definite positif.
2. Kondisi Karush-Kuhn-Tucker Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang
dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang
optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier.
Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk : Maksimumkan minimumkan :
X f
Z =
dengan
t n
x x
x X
} ,...,
, {
2 1
= Dengan kendala
: ≥
≤ X
g
i
dengan m
, …
1,2,3, =
i ≥
X n
m ≤ jumlah kendala lebih kecil dari variabel
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti ,...,
,
2 1
≤ −
≤ −
≤ −
n
x x
x , sehingga himpunan kendalanya adalah
n m
+ persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama
dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang
2 2
2 2
2 1
,..., ,
m n
n n
x x
x
+ +
+
berturut- turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap-
tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur slack variables yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin
bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange :
[ ]
[ ]
2 1
1 1
2 i
n i
n m
m i
m i
i n
i i
x x
x X
g X
f L
+ +
+ =
= +
+ −
− −
− ≡
∑ ∑
λ λ
Untuk
n m
+
λ λ
λ ,...,
,
2 1
adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan
= ∂
∂
j
x L
m n
j +
= 2
,..., 2
, 1
= ∂
∂
i
L λ
n m
i +
= ,...,
2 ,
1 ≥
i
λ n
m i
+ =
,..., 2
, 1
Persamaan-persamaan diatas membentuk persyaratan Karush-Kuhn-Tucker untuk maksimasi ataupun minimasi program liner dan nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
3. Kondisi Optimal dalam Pemrograman Kuadratis Prosedur menggunakan Kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk memecahkan
suatu masalah optimasi dalam pemrograman kuadratis dengan kendala berupa suatu pertidaksamaan, secara essensial melibatkan langkah-langkah yang sama seperti
halnya dalam menggunakan teorema Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi dengan kedala berupa persamaan, yaitu pertama bentuklah suatu ”Lagrangean” L.[3]
Jadi dalam hal ini dibentuk suatu fungsi b
Ax y
cx Qx
x y
x L
T
− +
+ =
2 1
, Dimana y adalah baris vektor dimensi m . Maka kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk
lokal minimum memenuhi ≥
∂ ∂
j
x L
, n
j ,...,
2 ,
1 =
≥ +
+ yA
Q x
c
T
≥ ∂
∂
i
y L
, m
i ,...,
2 ,
1 =
≤ − b
Ax =
∂ ∂
j j
x L
x ,
n j
,..., 2
, 1
= =
+ +
y A
Qx c
x
T T
T
= x
g y
i i
, m
i ,...,
2 ,
1 =
= − b
Ax y
≥
j
x ,
n j
,..., 2
, 1
= ≥
x ≥
i
y ,
m i
,..., 2
, 1
= ≥
y
Dimana
n
y ℜ
∈ = surplus variabel nonnegatif
m
v ℜ
∈ = slack variabel nonnegatif.
1.4 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penulisan ini adalah
menguraikan cara dan persyaratan Karush- Kuhn-Tucker untuk mendapatkan nilai optimum nilai maksimum atau nilai minimum
dari pemrograman kuadratis
.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
1.5 Kontribusi Penelitian
