Rumusan Metode Blok Rasional

32 diketahui maka untuk menghitung nilai hampiran �+ diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu � , � . Dengan menggunakan metode rasional satu langkah, maka nilai hampiran �+ dapat dihitung. Selanjutnya, untuk menghitung nilai hampiran �+ diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu � , � dan �+ , �+ . Dengan menggunakan metode rasional dua langkah, maka nilai hampiran �+ dapat dihitung. Jadi, nilai hampiran � di titik � digunakan untuk menghitung nilai hampiran �+ dan �+ secara ber- samaan dalam satu iterasi. Dengan proses yang sama, nilai hampiran �+ yang telah diperoleh dari penghitungan sebelumnya, digunakan untuk menghitung nilai hampiran �+ dengan metode rasional satu langkah dan menghitung nilai hampiran �+ dengan metode rasional dua langkah. Secara keseluruhan, proses penghi- tungan yang sama diulang sebanyak berhingga kali sampai mendapatkan nilai hampiran di titik akhir, yaitu . Berikut ini merupakan analisis metode blok rasional. Pada sumbu- , dapat didefinisikan bahwa titik � , �+ dan �+ diberikan oleh: � = + � ℎ, 3.1.2 �+ = + � + ℎ = � + ℎ, 3.1.3 �+ = + � + ℎ = � + ℎ. 3.1.4 Di sini adalah titik awal interval atas variabel x dan ℎ merupakan ukuran langkah yang konstan atau ℎ merupakan jarak antar titik yang saling berdeka- tan. Nilai h diperoleh dengan rumus ℎ = � � − � � dengan � adalah banyaknya 33 langkah pengintegralan. Untuk menghitung nilai hampiran di dalam interval tersebut, terlebih dahulu harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal 3.1.1 direpresentasikan secara lokal pada interval [ � , �+ ] dengan hampiran rasional: ≈ � = + + 3.1.5 dengan , dan adalah koefisien-koefiisen yang tidak diketahui nilainya. Hampiran rasional pada persamaan 3.1.5 harus melalui titik � , � dan �+ , �+ . Selain itu, harus diasumsikan pada titik tersebut turunannya diberikan oleh ′ = , dan = ′ , . Untuk menghitung turunan dari hampiran rasional � dapat menggunakan rumus aturan rantai. Diberikan persamaan: ≈ � = + + . Misalkan = + dan = + , maka rumus turunan aturan rantai dapat ditulis: � ′ = ′ − ′ , sehingga diperoleh, � ′ = + − + + = + − − + = − + . 34 � ′ merupakan turunan pertama dari hampiran rasional 3.1.5. Dengan menggunakan rumus yang sama, dapat dihitung turunan keduanya, yaitu � . Diberikan: �′ = − + Misalkan = − dan = + . Maka turunan keduanya yaitu: � = ′ − ′ = + − − + + = − − + . Dari informasi-informasi di titik � , � , maka diperoleh empat persamaan yang harus dipenuhi, yaitu: � � = � = + � + � , 3.1.6 � �+ = �+ = + �+ + �+ , 3.1.7 � ′ � = � = − + � , 3.1.8 � � = � ′ = − − + � = − � + � , 3.1.9 dengan � = � , � dan � ′ = ′ � , � . Dari persamaan 3.1.6 – 3.1.9 dapat dilihat bahwa keempat persamaan tersebut mengandung koefisien , dan yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu, untuk menghitung nilai hampiran �+ terlebih dahulu harus mengeliminasi ketiga koefisien tersebut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 supaya dalam penyelesaiannya tidak terdapat koefisien , dan . Berikut adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien , dan . �+ − � = + �+ + �+ − + � + � = + �+ + � + �+ − + � + �+ + � = + � + �+ + � �+ + �+ + � − + �+ + � + � �+ + �+ + � = � + �+ − �+ + � + �+ + � = � − �+ + �+ − � + �+ + � = � − �+ + �+ − � + �+ + � = −ℎ + ℎ + �+ + � = ℎ − + �+ + � . 3.1.10 Dari persamaan 3.1.8 dan 3.1.3 diketahui : � + � = − + � dan �+ = � + ℎ. Dengan mensubstitusikan � + � dan � + ℎ ke persamaan 3.1.10 di- peroleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 ℎ − + �+ + � = ℎ � + � + � + ℎ = ℎ � + � + � + ℎ . 3.1.11 Dari persamaan 3.1.9 diketahui : + � = − � � � � ′ . Dengan mensubstitusi − � � � � ′ ke persamaan 3.1.11 diperoleh: ℎ � + � + � + ℎ = ℎ � − � � ′ − � � ′ + ℎ = ℎ � − � � ′ − � + ℎ � ′ � ′ = ℎ � − � � ′ − � + ℎ � ′ � ′ = − ℎ � − � + ℎ � ′ = ℎ � � − ℎ � ′ ∙ − − , �+ − � = ℎ � � − ℎ � ′ �+ = � + ℎ � � − ℎ � ′ . 37 Hasil dari eliminasi ketiga koefisien ini merupakan metode rasional orde dua satu langkah. Metode ini merupakan rumus metode rasional III yang dapat dilihat pada karangan Lambert 1974: �+ = � + ℎ � � − ℎ � ′ 3.1.12 Persamaan 3.1.12 adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai hampiran �+ dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu � , � . Selanjutnya, untuk mencari nilai hampiran �+ , harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal 3.1.1 direpresentasikan secara lokal pada interval [ � , �+ ] dengan hampiran rasional yang sama pa- da persamaan 3.1.5. Karena nilai hampirannya berada pada interval [ � , �+ ], maka hampiran rasional 3.1.5 harus melalui titik � , � , �+ , �+ dan �+ , �+ . Selain itu, harus diasumsikan pada ti- tik tersebut turunannya diberikan oleh ′ = , . Metode yang digunakan untuk menghitung nilai hampiran �+ adalah metode dua langkah. Oleh ka- rena itu, untuk menghitung nilai hampiran �+ diperlukan informasi- informasi di titik � , � dan �+ , �+ sehingga diperoleh lima persamaan yang harus dipenuhi, yaitu: � � = � = + � + � , 3.1.13 � �+ = �+ = + �+ + �+ , 3.1.14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38 � �+ = �+ = + �+ + �+ , 3.1.15 � ′ � = � = − + � , 3.1.16 � ′ �+ = �+ = − + �+ , 3.1.17 dengan � = � , � dan �+ = �+ , �+ . Dari persamaan 3.1.13 – 3.1.17 dapat dilihat bahwa kelima persamaan tersebut mengandung koefisien , , dan � yang tidak diketahui nilainya, maka untuk menghitung nilai �+ terlebih dahulu harus mengeliminasi , , dan � . Berikut adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien , , dan � . �+ − �+ = + �+ + �+ − + �+ + �+ = + �+ + �+ + �+ + �+ − = + �+ ∙ + �+ + �+ + �+ = + �+ + �+ + �+ �+ + �+ + �+ − + �+ + �+ + �+ �+ + �+ + �+ = �+ + �+ − �+ + �+ + �+ + �+ = �+ − �+ + �+ − �+ + �+ + �+ = �+ − �+ + �+ − �+ + �+ + �+ 39 = −ℎ + ℎ + �+ + �+ = ℎ − + �+ + �+ . 3.1.18 Dari 3.1.17 dan 3.1.4 diketahui: �+ + �+ = − + �+ dan �+ = � + ℎ. Dengan mensubstitusi �+ + �+ dan � + ℎ ke persamaan 3.1.18 diperoleh: ℎ − + �+ + �+ = ℎ �+ + �+ + � + ℎ = ℎ �+ + � + ℎ + �+ = ℎ �+ + � + �+ + ℎ + �+ . 3.1.19 Dari 3.1.10 diketahui: �+ − � = ℎ − + �+ + � �+ − � . + � ℎ = ℎ − + �+ + � . + � ℎ �+ − � + � ℎ = − + �+ . 3.1.20 Dari 3.1.17 diketahui: �+ + �+ = − + �+ . 3.1.21 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.20 ke persamaan 3.1.21 di- peroleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 �+ + �+ = �+ − � + � ℎ ≡ �+ ℎ �+ − � = + � + �+ . Dengan mensubstitusi �+ ℎ �+ − � ke persamaan 3.1.19, diperoleh: ℎ − + �+ + �+ = ℎ �+ + � + �+ + ℎ + �+ = ℎ �+ ℎ �+ �+ − � + ℎ + �+ = ℎ �+ [ℎ �+ + �+ + ℎ �+ − � �+ − � + �+ ] = ℎ �+ �+ − � + �+ ℎ �+ + �+ + ℎ �+ − � ∙ + �+ + �+ = ℎ �+ �+ − � [ℎ �+ + ℎ �+ − � + �+ ] . 3.1.22 Agar rumus metode rasional dari II Lambert 1974 sama dengan persamaan 3.1.22, maka harus dibuktikan: �+ − � − ℎ �+ = ℎ �+ + ℎ �+ − � + �+ ≡ �+ − � − ℎ �+ = ℎ �+ − � + �+ ≡ + �+ = [ �+ − � − ℎ �+ ] ℎ �+ − � ≡ = �+ − � − ℎ �+ ℎ �+ − � 41 ≡ + �+ = ℎ �+ − � �+ − � − ℎ �+ . Dengan mensubstitusikan + �+ ke persamaan 3.1.22, diperoleh: �+ − �+ = ℎ �+ �+ − � [ℎ �+ + ℎ �+ − � + �+ ] = ℎ �+ �+ − � [ℎ �+ + ℎ �+ − � ℎ �+ − � �+ − � − ℎ �+ ] = ℎ �+ �+ − � ℎ �+ + [ �+ − � − ℎ �+ ] = ℎ �+ �+ − � ℎ �+ + �+ − � − ℎ �+ = ℎ �+ �+ − � �+ − � − ℎ �+ . Hasil dari eliminasi keempat koefisien tersebut merupakan metode rasional orde tiga dua langkah. Metode ini merupakan rumus metode II yang dapat dilihat pada karangan Lambert 1974: �+ = �+ + ℎ �+ �+ − � �+ − � − ℎ �+ . 3.1.23 Persamaan 3.1.23 adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai hampiran �+ dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu � , � dan �+ , �+ . Jadi, metode blok rasional didasarkan pada hampiran rasional 3.1.5 yang terdiri dari dua rumus, yaitu rumus 3.1.12 dan rumus 3.1.23. Penerapan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 dari metode blok rasional agak sederhana. Jika nilai � diketahui, maka dapat dihitung nilai hampiran �+ dengan menggunakan rumus 3.1.12, setelah itu dihitung nilai hampiran �+ dengan menggunakan rumus 3.1.23.

B. Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal

Pada bagian ini akan diselesaikan contoh-contoh masalah nilai awal pada bab II dengan menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode blok ra- sional. Selain mencari penyelesaiannya, akan dicari pula kesalahan error maksimum dari setiap metode numeris metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut. Oleh karena itu, perlu didefinisikan kesalahan maksimum se- bagai berikut: � = max � � | n − � | dengan N adalah banyaknya langkah pengintegralan, n adalah penyelesaian numeris pada langkah ke- � dan � adalah penyelesaian eksak pada langkah ke- �. Untuk mempermudah penghitungan dan menggambar penyelesaiannya, maka digunakan software MATLAB. Berikut diberikan tiga contoh masalah nilai awal seperti yang sudah dikerjakan secara analitis pada bab II.

1. Contoh 1

Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut: ′ = − , = , ∈ [ , ]. 43 Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variabel terpisah. Berdasarkan penyelesaian analitis masalah nilai awal pada bab II, diperoleh penyelesaian eksaknya, yaitu: = − � . 3.2.1 Persamaan 3.2.1 merupakan penyelesaian khusus penyelesaian eksak dari Contoh 1. Karena penyelesaian eksak diketahui, maka dapat dihitung kesalahan maksimum dari setiap metode numeris. Tabel 1. Kesalahan maksimum untuk Contoh 1 � Euler Heun Blok Rasional 32 0.066654 0.007616 0.003021 64 0.030792 0.001683 0.000749 128 0.014851 0.000397 0.000187 256 0.007304 0.000096 0.000047 Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kesalahan maksimum dari metode blok rasional lebih kecil dibandingkan dengan kedua metode numeris lainnya metode Euler dan metode Heun. Hal ini berarti metode blok rasional mempunyai penyelesaian numeris yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hal tersebut juga diperlihatkan pada Gambar 2 dan Gambar 3, untuk � = metode blok rasional mempunyai kesalahan maksimum yang lebih kecil dari metode Euler dan metode Heun. 44 Gambar 2. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 1. Gambar 3. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 1.