Rumusan Metode Blok Rasional
32
diketahui maka untuk menghitung nilai hampiran
�+
diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
. Dengan menggunakan metode rasional satu langkah, maka nilai hampiran
�+
dapat dihitung. Selanjutnya, untuk menghitung nilai hampiran
�+
diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
dan
�+
,
�+
. Dengan menggunakan metode rasional dua langkah, maka nilai hampiran
�+
dapat dihitung. Jadi, nilai hampiran
�
di titik
�
digunakan untuk menghitung nilai hampiran
�+
dan
�+
secara ber- samaan dalam satu iterasi.
Dengan proses yang sama, nilai hampiran
�+
yang telah diperoleh dari penghitungan sebelumnya, digunakan untuk menghitung nilai hampiran
�+
dengan metode rasional satu langkah dan menghitung nilai hampiran
�+
dengan metode rasional dua langkah. Secara keseluruhan, proses penghi- tungan yang sama diulang sebanyak berhingga kali sampai mendapatkan nilai
hampiran di titik akhir, yaitu .
Berikut ini merupakan analisis metode blok rasional. Pada sumbu- , dapat didefinisikan bahwa titik
�
,
�+
dan
�+
diberikan oleh:
�
= + � ℎ, 3.1.2
�+
= + � + ℎ =
�
+ ℎ, 3.1.3
�+
= + � + ℎ =
�
+ ℎ. 3.1.4
Di sini adalah titik awal interval atas variabel x dan
ℎ merupakan ukuran langkah yang konstan atau
ℎ merupakan jarak antar titik yang saling berdeka- tan. Nilai h diperoleh dengan rumus
ℎ =
�
�
− � �
dengan � adalah banyaknya
33
langkah pengintegralan. Untuk menghitung nilai hampiran di dalam interval tersebut, terlebih dahulu harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari
masalah nilai awal 3.1.1 direpresentasikan secara lokal pada interval [
�
,
�+
] dengan hampiran rasional: ≈ �
= +
+ 3.1.5
dengan , dan adalah koefisien-koefiisen yang tidak diketahui nilainya.
Hampiran rasional pada persamaan 3.1.5 harus melalui titik
�
,
�
dan
�+
,
�+
. Selain itu, harus diasumsikan pada titik tersebut turunannya diberikan oleh
′
= , dan = ′ , . Untuk menghitung turunan dari
hampiran rasional �
dapat menggunakan rumus aturan rantai. Diberikan persamaan:
≈ � =
+ +
.
Misalkan =
+ dan = + , maka rumus turunan aturan rantai
dapat ditulis: �
′
=
′
−
′
,
sehingga diperoleh, �
′
= + −
+ +
= + −
− +
= −
+
.
34
�
′
merupakan turunan pertama dari hampiran rasional 3.1.5. Dengan menggunakan rumus yang sama, dapat dihitung turunan keduanya, yaitu
� . Diberikan:
�′ =
− +
Misalkan = − dan =
+ . Maka turunan keduanya yaitu:
� =
′
−
′
= +
− −
+ +
= −
− +
.
Dari informasi-informasi di titik
�
,
�
, maka diperoleh empat persamaan yang harus dipenuhi, yaitu:
�
�
=
�
= +
�
+
�
,
3.1.6 �
�+
=
�+
= +
�+
+
�+
,
3.1.7 �
′ �
=
�
= −
+
�
,
3.1.8 �
�
=
� ′
= −
− +
�
= −
�
+
�
,
3.1.9 dengan
�
=
�
,
�
dan
�
′ = ′
�
,
�
. Dari persamaan 3.1.6 – 3.1.9
dapat dilihat bahwa keempat persamaan tersebut mengandung koefisien ,
dan yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu, untuk menghitung nilai
hampiran
�+
terlebih dahulu harus mengeliminasi ketiga koefisien tersebut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
supaya dalam penyelesaiannya tidak terdapat koefisien , dan . Berikut
adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien , dan .
�+
−
�
= +
�+
+
�+
− +
�
+
�
= +
�+
+
�
+
�+
−
+
�
+
�+
+
�
= +
�
+
�+
+
� �+
+
�+
+
�
− +
�+
+
�
+
� �+
+
�+
+
�
=
�
+
�+
−
�+
+
�
+
�+
+
�
=
�
−
�+
+
�+
−
�
+
�+
+
�
=
�
−
�+
+
�+
−
�
+
�+
+
�
= −ℎ + ℎ
+
�+
+
�
= ℎ
− +
�+
+
�
.
3.1.10 Dari persamaan 3.1.8 dan 3.1.3 diketahui
:
�
+
�
= −
+
�
dan
�+
=
�
+ ℎ. Dengan mensubstitusikan
�
+
�
dan
�
+ ℎ ke persamaan 3.1.10 di-
peroleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
ℎ −
+
�+
+
�
= ℎ
�
+
�
+
�
+ ℎ =
ℎ
�
+
�
+
�
+ ℎ
.
3.1.11
Dari persamaan 3.1.9 diketahui
:
+
�
=
− �
�
�
� ′
.
Dengan mensubstitusi
− �
�
�
� ′
ke persamaan 3.1.11 diperoleh:
ℎ
�
+
�
+
�
+ ℎ = ℎ
�
−
� �
′
−
� �
′
+ ℎ
= ℎ
�
−
� �
′
−
�
+ ℎ
� ′
� ′
= ℎ
�
−
� �
′
−
�
+ ℎ
� ′
� ′
= − ℎ
�
−
�
+ ℎ
� ′
= ℎ
� �
− ℎ
� ′
∙ −
−
,
�+
−
�
= ℎ
� �
− ℎ
� ′
�+
=
�
+ ℎ
� �
− ℎ
� ′
.
37
Hasil dari eliminasi ketiga koefisien ini merupakan metode rasional orde dua satu langkah. Metode ini merupakan rumus metode rasional III yang dapat
dilihat pada karangan Lambert 1974:
�+
=
�
+ ℎ
� �
− ℎ
� ′
3.1.12 Persamaan 3.1.12 adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai
hampiran
�+
dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
. Selanjutnya, untuk mencari nilai hampiran
�+
, harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal 3.1.1 direpresentasikan
secara lokal pada interval [
�
,
�+
] dengan hampiran rasional yang sama pa- da persamaan 3.1.5. Karena nilai hampirannya berada pada interval
[
�
,
�+
], maka hampiran rasional 3.1.5 harus melalui titik
�
,
�
,
�+
,
�+
dan
�+
,
�+
. Selain itu, harus diasumsikan pada ti- tik tersebut turunannya diberikan oleh
′
= , . Metode yang digunakan
untuk menghitung nilai hampiran
�+
adalah metode dua langkah. Oleh ka- rena itu, untuk menghitung nilai hampiran
�+
diperlukan informasi- informasi di titik
�
,
�
dan
�+
,
�+
sehingga diperoleh lima persamaan yang harus dipenuhi, yaitu:
�
�
=
�
= +
�
+
�
,
3.1.13 �
�+
=
�+
= +
�+
+
�+
,
3.1.14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
�
�+
=
�+
= +
�+
+
�+
,
3.1.15 �
′ �
=
�
= −
+
�
,
3.1.16 �
′ �+
=
�+
= −
+
�+
,
3.1.17 dengan
�
=
�
,
�
dan
�+
=
�+
,
�+
. Dari persamaan 3.1.13 –
3.1.17 dapat dilihat bahwa kelima persamaan tersebut mengandung koefisien , , dan
�
yang tidak diketahui nilainya, maka untuk menghitung nilai
�+
terlebih dahulu harus mengeliminasi , , dan
�
. Berikut adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien
, , dan
�
.
�+
−
�+
= +
�+
+
�+
− +
�+
+
�+
= +
�+
+
�+
+
�+
+
�+
−
= +
�+
∙ +
�+
+
�+
+
�+
= +
�+
+
�+
+
�+ �+
+
�+
+
�+
− +
�+
+
�+
+
�+ �+
+
�+
+
�+
=
�+
+
�+
−
�+
+
�+
+
�+
+
�+
=
�+
−
�+
+
�+
−
�+
+
�+
+
�+
=
�+
−
�+
+
�+
−
�+
+
�+
+
�+
39
= −ℎ + ℎ
+
�+
+
�+
= ℎ
− +
�+
+
�+
.
3.1.18
Dari 3.1.17 dan 3.1.4 diketahui:
�+
+
�+
= −
+
�+
dan
�+
=
�
+ ℎ. Dengan mensubstitusi
�+
+
�+
dan
�
+ ℎ ke persamaan 3.1.18 diperoleh:
ℎ −
+
�+
+
�+
= ℎ
�+
+
�+
+
�
+ ℎ =
ℎ
�+
+
�
+ ℎ +
�+
= ℎ
�+
+
�
+
�+
+ ℎ
+
�+
.
3.1.19
Dari 3.1.10 diketahui:
�+
−
�
= ℎ
− +
�+
+
� �+
−
�
. +
�
ℎ =
ℎ −
+
�+
+
�
. +
�
ℎ
�+
−
�
+
�
ℎ =
− +
�+
.
3.1.20 Dari 3.1.17 diketahui:
�+
+
�+
= −
+
�+
.
3.1.21 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.20 ke persamaan 3.1.21 di-
peroleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
�+
+
�+
=
�+
−
�
+
�
ℎ ≡
�+
ℎ
�+
−
�
= +
�
+
�+
.
Dengan mensubstitusi
�+
ℎ
�+
−
�
ke persamaan 3.1.19, diperoleh: ℎ
− +
�+
+
�+
= ℎ
�+
+
�
+
�+
+ ℎ
+
�+
= ℎ
�+
ℎ
�+ �+
−
�
+ ℎ
+
�+
= ℎ
�+
[ℎ
�+
+
�+
+ ℎ
�+
−
� �+
−
�
+
�+
]
= ℎ
�+ �+
−
�
+
�+
ℎ
�+
+
�+
+ ℎ
�+
−
�
∙ +
�+
+
�+
= ℎ
�+ �+
−
�
[ℎ
�+
+ ℎ
�+
−
�
+
�+
]
.
3.1.22
Agar rumus metode rasional dari II Lambert 1974 sama dengan persamaan 3.1.22, maka harus dibuktikan:
�+
−
�
− ℎ
�+
= ℎ
�+
+ ℎ
�+
−
�
+
�+
≡
�+
−
�
− ℎ
�+
= ℎ
�+
−
�
+
�+
≡ +
�+
= [
�+
−
�
− ℎ
�+
] ℎ
�+
−
�
≡ =
�+
−
�
− ℎ
�+
ℎ
�+
−
�
41
≡ +
�+
= ℎ
�+
−
� �+
−
�
− ℎ
�+
.
Dengan mensubstitusikan +
�+
ke persamaan 3.1.22, diperoleh:
�+
−
�+
= ℎ
�+ �+
−
�
[ℎ
�+
+ ℎ
�+
−
�
+
�+
]
= ℎ
�+ �+
−
�
[ℎ
�+
+ ℎ
�+
−
�
ℎ
�+
−
� �+
−
�
− ℎ
�+
]
= ℎ
�+ �+
−
�
ℎ
�+
+ [
�+
−
�
− ℎ
�+
] =
ℎ
�+ �+
−
�
ℎ
�+
+
�+
−
�
− ℎ
�+
= ℎ
�+ �+
−
� �+
−
�
− ℎ
�+
.
Hasil dari eliminasi keempat koefisien tersebut merupakan metode rasional orde tiga dua langkah. Metode ini merupakan rumus metode II yang dapat
dilihat pada karangan Lambert 1974:
�+
=
�+
+ ℎ
�+ �+
−
� �+
−
�
− ℎ
�+
.
3.1.23 Persamaan 3.1.23 adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai
hampiran
�+
dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
dan
�+
,
�+
. Jadi, metode blok rasional didasarkan pada hampiran rasional 3.1.5 yang
terdiri dari dua rumus, yaitu rumus 3.1.12 dan rumus 3.1.23. Penerapan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
dari metode blok rasional agak sederhana. Jika nilai
�
diketahui, maka dapat dihitung nilai hampiran
�+
dengan menggunakan rumus 3.1.12, setelah itu dihitung nilai hampiran
�+
dengan menggunakan rumus 3.1.23.