20
� + �
= �
.
Persamaan tersebut dapat diubah menjadi,
[
�
]
= � ≡
� +
� = �
,
sehingga diperoleh �
= � ≡
� �
= Dengan pengintegralan diperoleh:
∫
� �
=
∫
≡ ln
|
�
|
=
∫
≡ �
=
∫ � �
.
Diperoleh faktor integral, yaitu: �
=
∫ � �
.
Karena faktor integral diketahui, maka dapat dicari penyelesaian dari persamaan diferensial biasa linier tingkat satu.
+ =
≡ � + �
= � ≡
[
�
]
= �
.
Dengan pengintegralan diperoleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∫ [
�
]
= ∫ �
≡ �
= ∫ � + �
≡ = � [∫�
+ �]
,
dengan � adalah suatu konstanta. Jadi, diperoleh penyelesaian persa-
maan diferensial biasa linier tingkat satu, yaitu: = � [∫�
+ �]
.
2. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua
Pada bagian ini akan dijelaskan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua, yaitu a persamaan diferensial biasa koefisien konstan
homogen, b persamaan diferensial biasa koefisien konstan non homogen. a.
Persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen
Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen:
+ +
= dengan
, , adalah konstanta. Misalkan penyelesaian umum persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen yaitu
=
�
. Maka dapat dicari turunan pertama dan kedua dari penyelesaian tersebut, yaitu:
′
=
,
′′
=
,
22
dengan adalah konstanta.
Dengan mensubstitusikan
′
dan
′′
, d
iperoleh: +
+ =
≡
′′
+
′
+ =
≡
�
+
�
+
�
= ≡
+ + = . Diketahui bahwa
≠ , maka + +
= . Sehingga di- peroleh persamaan karakteristik
+ + = . Dari persa-
maan karakteristik diatas terdapat tiga kemungkinan dalam menen- tukan akar-akarnya.
1 Terdapat dua akar real berbeda, yaitu dan .
2 Terdapat satu akar real yang sama, yaitu =
3 Terdapat dua akar kompleks
Diasumsikan akar-akar dari persamaan karakteristik real berbeda. Dengan demikian diperoleh dua penyelesaian, yaitu:
=
,
=
.
Jadi, penyelesaian umum persamaan diferensial biasa homogen ting- kat dua menjadi:
= +
, atau
=
�
+
�
,
Dengan
, adalah konstanta.
23
b. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan non-homogen.
Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan
non-homogen:
+ +
=
,
dengan , , adalah konstanta dan
≠ adalah fungsi dalam x. Penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien
konstan non-homogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu. Misalkan
� dan � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen, maka:
�
′′
+ �
′
+ � =
,
dan �
′′
+ �
′
+ � =
.
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diferensial tersebut, di- peroleh:
�
′′
− �
′′
+ �
′
− �
′
+ � − � = . Dengan kata lain,
� − � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen. Diketahui bahwa per-
samaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen mempunyai penyelesaian umum:
= +
.
Hal ini berakibat, � − � = � + �
,
atau dapat ditulis, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI