Contoh 3 Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal

51 Gambar 7. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 3. Dapat dilihat pada Gambar 6 bahwa metode Euler dan metode Heun divergen. Berbeda dengan metode blok rasional, metode ini konvergen ke penyelesaian eksaknya. Dapat dilihat pula pada Gambar 7 bahwa kesalahan maksimum dari metode Euler dan metode Heun menuju tak hingga. Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode blok rasional mampu menyelesaikan masalah nilai awal terse- but dengan cukup baik, sementara metode Euler dan metode Heun tidak dapat menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan baik. Pada bab III bagian B telah dihitung penyelesaian numeris masalah nilai awal untuk contoh 1, contoh 2 dan contoh 3 dengan menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional. Dari penghitungan numeris ini diperoleh hasil bahwa metode blok rasional mempunyai hampiran penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52 Selanjutnya, diberikan tiga contoh masalah nilai awal contoh 4, contoh 5 dan contoh 6 yang berbeda dengan contoh masalah nilai awal pada bab III. Ketiga contoh masalah nilai awal ini contoh 4, contoh 5 dan contoh 6 dihitung dan diselesaikan dengan menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional. Penghitungan ini dilakukan untuk melihat apakah metode blok rasional juga mempunyai penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hasil dari penghitungan numeris ini yaitu metode blok rasional juga mempunyai penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Contoh masalah nilai awal dan kesalahan maksimumnya dapat dilihat pada lampiran 1. 53

BAB IV KEKONVERGENAN METODE NUMERIS

Pada bab ini akan dibahas kekonvergenan metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional.

A. Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan

Definisi 4.1. Kesalahan pemotongan lokal Diberikan metode satu langkah sebagai berikut: = � + = + ℎ , untuk setiap = , , , … , − . Metode satu langkah tersebut mempunyai kesalahan pemotongan lokal sebagai berikut: � + ℎ = + − + ℎ , ℎ = + − ℎ − , untuk setiap = , , , … , − , dimana dan + adalah penyelesaian pada titik dan + . Definisi 4.2. Kekonsistenan Metode satu langkah dikatakan konsisten jika, lim ℎ→ max | � ℎ | = dengan � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal pada langkah ke-n. Definisi 4.3. Kekonvergenan Metode satu langkah dikatakan konvergen jika, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54 lim ℎ→ max | − | = dengan adalah penyelesaian numeris pada langkah ke- dan adalah penyelesaian eksak. Pada bab III telah didefinisikan kesalahan maksimum pemotongan global, yaitu: = max | − | Dengan kata lain suatu metode satu langkah dikatakan konvergen ke penyelesaian eksanya jika = ketika ℎ → . Definisi 4.4. Syarat Lipschitz Suatu fungsi , dikatakan memenuhi syarat Lipschitz pada sebuah himpunan � ⊂ ℝ jika terdapat konstanta dengan | , − , | | − | Untuk sebarang , dan , di �. Konstanta disebut konstanta Lipschitz untuk . Contoh 4.5. Tunjukkan bahwa , = | | memenuhi syarat Lipschitz pada interval � = { , | dan − } Jawab: Untuk setiap pasangan titik , dan , di D, diperoleh: | , − , | | | | − | || | | || | − | || 55 || | − | || dengan demikian , memenuhi syarat Lipschitz di D dengan konstanta Lipschitz = . Lemma 4.6. Untuk setiap − dan , berlaku + � . Bukti: Dengan menerapkan Teorema Taylor untuk = � , = dan = , diperoleh: = + − + − � , = + − + − � , = + + � , dengan � . Dari persamaan di atas diperoleh: + + + � = � . Karena + , maka + � . ∎ Teorema 4.7. Misalkan syarat Lipschitz dengan konstanta Lipschitz dan kesalahan pemotongan lokal terbatas oleh � ℎ � ℎ = max | � ℎ | , maka kesalahan pemotongan global terbatas oleh: