11
Definisi 2.5. Persamaan Diferensial Biasa Non-linier
Persamaan diferensial biasa disebut non-linier jika persamaan diferensial tersebut tidak memenuhi persamaan 9. Boyce, W. E. and
R. C. DiPrima
Contoh dari persamaan diferensial biasa non-linier adalah persamaan 4 karena pada persamaan tersebut terdapat fungsi
y dan sin y.
3. Masalah Nilai Awal
Pada bagian ini akan dijelaskan pengertian masalah nilai awal dan contoh-contohnya.
Definisi 2.6. Masalah nilai awal
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang disajikan bersama dengan nilai awalnya. Misalkan masalah nilai awal untuk
persamaan diferensial tingkat ke- � diberikan oleh:
, ,
′
, … ,
�
= . Hal ini berarti mencari penyelesaian persamaan diferensial pada interval
I yang memenuhi kondisi awal,
=
,
′
=
,
�−
=
�−
,
12
dengan ∈ � dan , , … ,
�−
merupakan suatu konstanta.
Contoh masalah nilai awal, yaitu:
′
= − ,
= 10
′′
+
′
+ = ,
= . ,
′
= − 11
′
= +
,
= . 12
4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan
Teorema eksistensi dapat membantu untuk mencari tahu apakah penyelesaian masalah nilai awal tersebut ada atau tidak. Jika
adalah fungsi kontinu yang melewati
, , maka masalah nilai awal tersebut
mempunyai penyelesaian. Selanjutnya, jika masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian, dapat diperiksa apakah penyelesaiannya tung-
gal atau tidak. Oleh karena itu, untuk memeriksa ketunggalan dari penyelesaian masalah nilai awal tersebut dapat digunakan teorema ke-
tunggalan. Jika , kontinu dan
� �
juga kontinu, maka masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian yang tunggal. Lebih lanjut,
diberikan teorema eksistensi dan ketunggalan sebagai berikut.
Teorema. Diberikan masalah nilai awal:
= , ,
=
.
13
Jika dan
� �
adalah fungsi yang kontinu pada daerah � = { , : , }
yang memuat ,
, maka masalah nilai awal mempunyai penyelesaian tunggal
pada interval − � ≤ ≤
+ �, dengan � .
Bukti: Dapat dilihat dalam buku referensi Fundamentals of Differential
Equations and Boundary Value Problem. 6th edition. Chapter 13.
B. Metode Pendekatan atas Nilai Fungsi
Pada bagian ini akan dibahas beberapa metode pendekatan antara lain deret Taylor, metode Euler dan metode Heun.
1. Deret Taylor
Misalkan dan semua turunannya,
′
,
′′
,
′′′
, … kontinu di dalam interval
[
,
]
. Misalkan ∈
[
,
]
, maka untuk nilai-nilai di sekitar dan
∈ [ , ],
dapat diuraikan ke dalam deret Taylor: =
+ −
′
+ + −
�
�
�
+ . Jika
− = ℎ, maka deret Taylor dapat ditulis sebagai berikut:
= +
ℎ
′
+ + ℎ
�
�
�
+ , atau dapat ditulis dalam notasi sigma sebagai berikut:
= ∑ ℎ
�
�
� ∞
�=
.
