Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan
55
|| | − | || dengan demikian
, memenuhi syarat Lipschitz di D dengan konstanta Lipschitz
= .
Lemma 4.6.
Untuk setiap − dan , berlaku
+
�
.
Bukti:
Dengan menerapkan Teorema Taylor untuk =
�
, = dan = ,
diperoleh: =
+ −
+ −
�
,
= +
− +
−
�
,
= + +
�
,
dengan � . Dari persamaan di atas diperoleh:
+ + +
�
=
�
.
Karena +
, maka +
�
.
∎
Teorema 4.7.
Misalkan syarat Lipschitz dengan konstanta Lipschitz dan kesalahan pemotongan lokal terbatas oleh
� ℎ � ℎ = max
|
� ℎ
|
, maka kesalahan pemotongan global terbatas oleh:
56
|
−
|
� ℎ
[
x−x
−
].
Bukti:
Dari definisi kekonvergenan diketahui bahwa adalah kesalahan
pemotongan global dan � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Diketahui
bahwa = , oleh karena itu dapat dicari:
+
= |
+
−
+
| = | + ℎ
, −
+
| = | −
− ℎ [
+
− ℎ
− ,
]|
= | − − ℎ [
+
− ℎ
− ,
]
+ ℎ[ ,
− ,
]|
| − | − ℎ |
+
− ℎ
− ,
| + ℎ|
, −
, |
.
Dengan menerapkan definisi kesalahan pemotongan lokal dan syarat Lipschitz, maka diperoleh:
+
| | − ℎ|� ℎ | + ℎ | − |
| | − ℎ|� ℎ | + ℎ | | | | + ℎ − ℎ|� ℎ |
.
Dari hasil di atas dapat dicari nilai dari
| |
, yaitu:
| |
= 0,
| |
| | + ℎ + ℎ|� ℎ | = ℎ|� ℎ |
,
57
| |
| | + ℎ + ℎ|� ℎ | ℎ|� ℎ | + ℎ + ℎ|� ℎ |
= ℎ|� ℎ | + + ℎ
,
| |
|
−
| + ℎ + ℎ|� ℎ |
.
= ℎ|� ℎ | [ + + ℎ + +
+ ℎ
−
]
.
Diketahui bahwa +
+ ℎ + + + ℎ
−
merupakan deret geometri dengan rasio
� = + ℎ . Karena
� ,
maka jumlahan suku deret geometri tersebut dapat ditulis menjadi:
+ ℎ −
+ ℎ − = + ℎ
− ℎ
.
Sehingga diperoleh,
| |
ℎ
|
� ℎ
|
+ ℎ −
ℎ � ℎ
[
+ ℎ −
].
Berdasarkan Lemma 4.6, diperoleh,
| |
� ℎ
[
ℎ
−
].
Diketahui bahwa =
+ ℎ atau ℎ =
�
�
−�
sehingga,
| |
� ℎ
[
−
−
]
� ℎ
[
x−x
−
].
∎ Dari Teorema 4.7. dapat disimpulkan bahwa saat
� ℎ = , maka = . Dengan kata lain, jika suatu metode satu langkah konsisten maka metode
tersebut konvergen. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58