Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan

55 || | − | || dengan demikian , memenuhi syarat Lipschitz di D dengan konstanta Lipschitz = . Lemma 4.6. Untuk setiap − dan , berlaku + � . Bukti: Dengan menerapkan Teorema Taylor untuk = � , = dan = , diperoleh: = + − + − � , = + − + − � , = + + � , dengan � . Dari persamaan di atas diperoleh: + + + � = � . Karena + , maka + � . ∎ Teorema 4.7. Misalkan syarat Lipschitz dengan konstanta Lipschitz dan kesalahan pemotongan lokal terbatas oleh � ℎ � ℎ = max | � ℎ | , maka kesalahan pemotongan global terbatas oleh: 56 | − | � ℎ [ x−x − ]. Bukti: Dari definisi kekonvergenan diketahui bahwa adalah kesalahan pemotongan global dan � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Diketahui bahwa = , oleh karena itu dapat dicari: + = | + − + | = | + ℎ , − + | = | − − ℎ [ + − ℎ − , ]| = | − − ℎ [ + − ℎ − , ] + ℎ[ , − , ]| | − | − ℎ | + − ℎ − , | + ℎ| , − , | . Dengan menerapkan definisi kesalahan pemotongan lokal dan syarat Lipschitz, maka diperoleh: + | | − ℎ|� ℎ | + ℎ | − | | | − ℎ|� ℎ | + ℎ | | | | + ℎ − ℎ|� ℎ | . Dari hasil di atas dapat dicari nilai dari | | , yaitu: | | = 0, | | | | + ℎ + ℎ|� ℎ | = ℎ|� ℎ | , 57 | | | | + ℎ + ℎ|� ℎ | ℎ|� ℎ | + ℎ + ℎ|� ℎ | = ℎ|� ℎ | + + ℎ , | | | − | + ℎ + ℎ|� ℎ | . = ℎ|� ℎ | [ + + ℎ + + + ℎ − ] . Diketahui bahwa + + ℎ + + + ℎ − merupakan deret geometri dengan rasio � = + ℎ . Karena � , maka jumlahan suku deret geometri tersebut dapat ditulis menjadi: + ℎ − + ℎ − = + ℎ − ℎ . Sehingga diperoleh, | | ℎ | � ℎ | + ℎ − ℎ � ℎ [ + ℎ − ]. Berdasarkan Lemma 4.6, diperoleh, | | � ℎ [ ℎ − ]. Diketahui bahwa = + ℎ atau ℎ = � � −� sehingga, | | � ℎ [ − − ] � ℎ [ x−x − ]. ∎ Dari Teorema 4.7. dapat disimpulkan bahwa saat � ℎ = , maka = . Dengan kata lain, jika suatu metode satu langkah konsisten maka metode tersebut konvergen. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58

B. Kekonvergenan Metode Euler

Diketahui bahwa metode Euler mempunyai persamaan: + = + ℎ , . Jika persamaan Euler diuraikan ke dalam deret Taylor maka diperoleh: + = + + − ′ + + − ′′ � dengan � + . Metode Euler diperoleh dengan memotong dua suku awal, oleh karena itu diperoleh: + = + ℎ ′ + ℎ ′′ � dengan ℎ ′′ � = � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Misalkan | ′′ � | , maka dapat dicari kesalahan pemotongan global dari metode Euler, yaitu: | | � ℎ [ x−x � − ] ℎ [ x−x � − ] . Berdasarkan definisi kekonvergenan, maka: lim ℎ→ max | ℎ [ x−x − ]| = . Karena | | = , maka metode Euler konvergen.

C. Kekonvergenan Metode Heun

Misalkan � + adalah penyelesaian eksak di titik + dan + adalah penyelesaian numeris di titik + . Jika � + diuraikankan ke dalam deret Taylor, maka diperoleh: 59 � + = + + − ′ + + − ′′ + + − ′′′ � = + ℎ ′ + ℎ ′′ + ℎ 6 ′′′ � . Misalkan ′ = , = dan � + , maka diperoleh: � + = + ℎ + ℎ ′ + ℎ 6 ′′ � . Diketahui bahwa metode Heun mempunyai persamaan sebagai berikut: + = + ℎ [ , + + , + ∗ ] dengan + ∗ = + ℎ , . Jika + , + ∗ diuraikankan ke dalam deret Taylor di sekitar , maka diperoleh: + , + ∗ = + , + = + ℎ ′ + ℎ ′′ � . Sehingga metode Heun dapat ditulis sebagai berikut: + = + ℎ [ , + + , + ∗ ] = + ℎ [ + + ℎ ′ + ℎ ′′ � ] = + ℎ + ℎ ′ + ℎ ′′ � , + = + ℎ + ℎ ′ + ℎ ′′ � . Dengan mengurangkan persamaan dengan , diperoleh: 60 + − + = + ℎ + ℎ ′ + ℎ 6 ′′ � − + ℎ + ℎ ′ + ℎ ′′ � = ℎ 6 ′′ � − ℎ ′′ � = − ℎ ′′ � . Jadi, diperoleh kesalahan pemotongan lokal metode Heun yaitu − ℎ 3 ′′ � = − ℎ 3 ′′′ � . Karena metode Heun memotong deret Taylor + di sekitar sampai tingkat kedua, maka metode Heun memiliki tingkat keakuratan yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode Euler. Misalkan | ′′′ � | , maka dapat dicari kesalahan pemotongan global dari metode Heun, yaitu: | | � ℎ [ x−x � − ] − ℎ [ x−x � − ] . Berdasarkan definisi kekonvergenan, maka: lim ℎ→ max | − ℎ [ x−x − ]| = . Karena | | = , maka metode Heun konvergen.

D. Kekonvergenan Metode Blok Rasional

Berdasarkan simulasi pada bab III, Contoh 1, Contoh 2, Contoh 3 dapat dilihat bahwa secara keseluruhan kekonvergenan metode blok rasional lebih