diselesaikan dengan teknik pengintergralan asalkan fungsi dari ,
x Q
x P
diketahui.
Contoh 2.2.2.1
Selesaikan ?
3 1
x y
x dx
dy =
+
Penyelesaian
Faktor pengintegralan x
x I
1 = , sehingga
x e
e x
I
x dx
x
= =
∫ =
ln 1
Dikalikan kedua ruas dengan x, maka
2
3x y
dx dy
x =
+
2
3x xy
dx d
= Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
C x
x y
1 2
−
+ =
Sehingga penyelesaian x
y x
dx dy
3 1
= +
adalah C
x x
y
1 2
−
+ =
.
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Persamaan Diferensial Linear Orde Dua adalah persamaan yang
dapat ditulis dalam bentuk
2
x R
y x
Q dx
dy x
P dx
y d
= +
+ 2.2.3.1
atau x
R y
x Q
y x
P y
= +
+ 2.2.3.2
dimana ,
, x
R x
Q x
P adalah suatu fungsi
x R
terbagi atas dua yaitu =
x R
dan ≠
x R
, seperti yang diuraikan berikut ini.
Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen adalah
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
2
= =
+ +
x R
y x
Q dx
dy x
P dx
y d
2.2.3.3 Persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen
adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
2
≠ =
+ +
x R
y x
Q dx
dy x
P dx
y d
2.2.3.4 Di dalam penerapan fungsi
x R
sering disebut sebagai input masukan. Jika
= x
R berarti tidak ada input dan
≠ x
R berarti ada input.
Contoh 2.2.3.1
x y
x y
x xy
4 2
3 2
= +
+ adalah persamaan diferensial linear orde dua,
karena dapat ditulis 4
2
2
= +
+ y
x xy
y , dan diketahui bahwa
4 =
x R
, maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial yang nonhomogen.
Teorema 2.2.3.1
Jika diketahui persamaan nonhomogen x
R y
x Q
y x
P y
= +
+ dengan
, ,
x R
x Q
x P
adalah fungsi yang kontinu pada interval ]
, [ b
a . Jika
x adalah sembarang titik pada interval
] ,
[ b a
, dan jika , y
y adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen
mempunyai penyelesaian tunggal x
y pada interval
] ,
[ b a
sedemikian hingga y
x y
= dan
y x
y =
. Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi
pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut, salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab
10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai
awal.
Contoh 2.2.3.2
Carilah solusi dari =
+ y y
= y
dan 1
= y
?
Penyelesaian
Solusi dari =
+ y y
adalah x
y sin
= ,
x y
cos =
dan
1
c y
= x
cos x
c sin
2
+ dimana
1
c ,
2
c adalah sembarang konstanta.
