Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana

Untuk mencari aliran air yang keluar 12 t q pada pipa 1 B pada saat t, digunakan teorema Torricelli yaitu 1 1 12 t h t q λ = 4.1.5 dengan λ adalah sebuah konstanta positif. Sehingga dari persamaan 4.1.4 dan persamaan 4.1.5 diperoleh + dt t dh A 1 1 = 1 1 t h λ 1 q t Karena tidak ada aliran air yang masuk pada 1 B , maka + dt t dh A 1 1 = 1 1 t h λ 0 4.1.6 − = dt t dh 1 1 12 A t q 4.1.7 Persamaan 4.1.7, yakni menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana. Misalkan dt d D ≡ , persamaan 4.1.6 dapat ditulis 1 1 1 = + t h D A λ 4.1.8 Dengan cara yang sama, maka untuk 2 B diperoleh dt t dh 1 2 1 A = 12 q − t q t 4.1.9 Karena diasumsikan di atas, maka persamaan 4.1.9 dinyatakan sebagai laju bertambahnya tinggi air pada 2 B . Misalkan dt d D ≡ , persamaan 4.1.9 dapat ditulis dt t dh A 1 2 2 2 t h λ + = 12 q t 4.1.10 Misalkan dt d D ≡ , maka persamaan 4.1.10 dapat ditulis 12 2 2 2 t q t h D A = + λ 4.1.11 Dari persamaan 4.1.5, diperoleh = + 2 2 2 t h D A λ 1 1 t h λ 4.1.12 Bila kedua ruas pada persamaan 4.1.12 dikalikan dengan 1 1 λ + D A , diperoleh = + + 1 1 2 2 2 λ λ D A t h D A 1 1 t h λ 1 1 λ + D A 4.1.13 Karena 1 1 1 = + t h D A λ , maka 1 1 2 2 2 = + + λ λ D A t h D A . 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 = + + + t h D A A D A A λ λ λ λ Karena dt d D ≡ maka 2 2 2 dt d D ≡ , maka 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ t h dt d A A dt d A A λ λ λ λ 2 2 2 2 2 2 2 = + + t h dt t dh dt t h d n n ω ω ξ 4.1.14 dengan 2 1 2 1 1 2 2 1 2 λ λ λ λ ξ A A A A + = dan 2 1 2 1 2 A A n λ λ ω = dimana ξ : Rasio Peredam dan n ω : Frekuensi Alami. Penyelesaian persamaan 4.1.14 terda pat tiga kasus yaitu : a Kasus Diredam Berlebihan bila 1 ξ , mempunyai penyelesaian yaitu : t t n n n n e c e c t h 1 2 1 1 2 2 2 − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ 4.1.15 Persamaan 4.1.15 menyatakan tinggi air pada bejana 2 B saat t. Karena 2 t V = 2 A 2 h t, maka 2 t V 1 2 1 1 2 2 2 t t n n n n e c e c A − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ 4.1.16 Persamaan 4.1.16 menyatakan volume air pada bejana 2 B saat t . Dengan 1 c , 2 c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari 2 h dan dt dh 2 , seperti yang diuraikan dibawah ini. Misalkan t t n n n n e c e c t h 1 2 1 1 2 2 2 − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ A h = 2 , B dt dh = 2 maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 2 ξ ξ ξ ω A B c n dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 1 2 2 1 ξ ξ ξ ω A B A c n Sehingga untuk ∞ → t maka 2 → t h dan 2 → t V , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2 B . Contoh 4.1.1 Misalkan diketahui bahwa bahwa 6 2 5 = ξ , 6 = n ω , keadaan mula- mula air pada 2 B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2 B adalah 1 dan 2, maka dapat ditulis sebagai berikut 6 5 2 2 2 2 2 = + + t h dt t dh dt t h d , 2 = h , 2 , 1 2 = dt dh ,3 Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.1 dibawah Tabel 4.1.1 Tinggi Air 2 h dt dh 2 2 t h 2 h max Waktu 2 h max 1 t t e e t h 3 2 2 − − − = 0,148 m 0,405 detik 2 t t e e t h 3 2 2 2 2 − − − = 0,296 m 0,405 detik 3 t t e e t h 3 2 2 3 3 − − − = 0,444 m 0,405 detik Pada tabel 4.1.1 di atas, walaupun waktu peningkatan air yang terjadi pada 2 B adalah sama akan tetapi peningkatan air yang terjadi pada 2 B berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2 B , sehingga semakin besar laju awal pada 2 B maka semakin tinggi peningkatan air 2 B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini. Gambar 4.1.1 Tinggi Air b Kasus Diredam Kritis bila 1 = ξ , mempunyai penyelesaian yaitu : = 2 t h 2 1 . tc c e t n + − ω ξ 4.1.17 Persamaan 4.1.17 menyatakan tinggi air pada bejana 2 B saat t. Karena 2 t V = 2 A 2 h t, maka 2 t V 2 A = 2 1 . tc c e t n + − ω ξ 4.1.18 Persamaan 4.1.18 menyatakan volume air pada bejana 2 B saat t. Dengan 1 c dan 2 c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari 2 h dan dt dh 2 , seperti yang diuraikan dibawah ini. Misalkan = 2 t h 2 1 tc c e t n + = − ω , A h = 2 , B dt dh = 2 maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut n A B c ω − − = 1 2 dan A c = 1 Sehingga untuk ∞ → t maka 2 → t h dan 2 → t V , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2 B . Contoh 4.1.2 Misalkan diketahui bahwa bahwa 1 = ξ , 3 = n ω , keadaan awal 2 B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2 B adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut 9 6 2 2 2 2 = + + t h dt t dh dt t h d , 2 = h , 1 2 = dt dh ,2 ,3 Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.2 dibawah Tabel 4.1.2 Tinggi Air 2 h dt dh 2 2 t h 2 h max Waktu 2 h max 1 t e t h t 3 2 − = 0,12 m 0,333 detik 2 t e t h t 3 2 2 − = 0,24 m 0,333 detik 3 t e t h t 3 2 3 − = 0,36 m 0,333 detik Pada tabel 4.1.2 di atas, walaupun peningkatan air yang terjadi pada 2 B adalah sama akan tetapi peningkatan yang terjadi pada 2 B berbeda- beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2 B , sehingga semakin besar laju awal pada 2 B maka semakin tinggi peningkatan air 2 B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini. Gambar 4.1.2 Tinggi Air c Kasus Diredam Berkurang bila 1 ξ , mempunyai penyelesaian yaitu : = 2 t h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − t c t c e n n n 2 2 2 1 1 sin 1 cos ξ ω ξ ω ξω 4.1.19 Persamaan 4.1.19 menyatakan tinggi air bejana 2 B saat t. Karena 2 t V = 2 A 2 h t, maka 2 t V 2 A = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − t c t c e n n n 2 2 2 1 1 sin 1 cos ξ ω ξ ω ξω 4.1.20 Dengan 1 c dan 2 c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari 2 h dan dt dh 2 , seperti yang diuraikan dibawah ini. Misalkan 2 t h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − t c t c e n n n 2 2 2 1 1 sin 1 cos ξ ω ξ ω ξω , A h = 2 , B dt dh = 2 maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut 2 2 1 ξ ω ξ ω − + = n n A B c , dan A c = 1 Sehingga untuk ∞ → t maka 2 → t h dan 2 → t V , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2 B . Dengan menggunakan identitas trigonometri, maka persamaan 4.1.19 dapat ditulis lagi menjadi 2 t h t S c t S c e t n sin cos 2 1 . + = − ω ξ γ ω ξ − = − t S Ce t n cos . 4.1.21 dengan 2 1 ξ ω − = n S , 2 2 2 1 c c C + = , C c 2 sin = γ , C c 1 cos = γ , 1 2 tan c c = γ Jadi tinggi air 2 B dapat juga ditulis pada persamaan 4.1.21. Contoh 4.1.3 Misalkan diketahui bahwa 13 2 4 = ξ , 13 = n ω , keadaan mula-mula pada 2 B adalah kosong, dan laju bertambahnya air 2 B pada mulanya adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut 13 4 2 2 2 2 = + + t h dt t dh dt t h d , 2 = h , 1 2 = dt dh ,2,3 Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.4.3 dibawah ini. Tabel 4.1.3 Tinggi Air 2 h dt dh 2 2 t h 2 h max Waktu 2 h max Waktu 2 B kosong 1 1 t e t h t 3 sin 3 1 2 2 − = 0,144 m 0,327 3 π 2 2 t e t h t 3 sin 3 2 2 2 − = 0,288 m 0,327 3 π 3 3 t e t h t 3 sin 2 2 − = 0,432 m 0,327 3 π dimana π : 3,14 Pada tabel 4.1.3 di atas, air pada 2 B dapat menjadi kosong saat 3 π , dan peningkatan air yang terjadi pada 2 B sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2 B , jadi semakin besar laju awal pada 2 B maka semakin tinggi peningkatan air 2 B . Akibatnya semakin besar laju awal bertambahnya air pada 2 B semakin lama untuk mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini. Gambar 4.1.3 Tinggi Air . Dari ketiga kasus yang telah dipaparkan di atas untuk ketinggian dan volume air yang terdapat pada sistem bejana yang terletak di bawah untuk waktu yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang lama sistem bejana yang terletak dibawah akan kosong, hal ini disebabkan karena pada sistem bejana yang terletak di atas tidak ada aliran yang masuk kedalam sistem tersebut. Sehingga hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa selalu ada air yang terdapat pada bendungan, baik bendungan yang terletak di atas maupun bendungan yang terletak dibawahnya. Akibatnya model matematika pada dua bejana yang telah dipaparkan di atas dikatakan belum baik. Sehingga model matematika pada dua bejana yang telah diuraikan di atas perlu dikembangkan lagi seperti yang dipaparkan berikut ini.

B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk Pada Sistem

Bejana di Atasnya Model matematika pada dua bejana di atas dikembangkan lagi dengan memberikan aliran yang masuk pada sistem bejana yang terletak diatasnya seperti pada gambar 4.2, sehingga masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar 4.2 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada 2 B . Untuk itu penyedehanaan atau asumsi-asumsi di atas perlu diberikan lagi yaitu a Tidak ada pengaturan pada pipa untuk aliran air yang masuk pada 1 B . b Aliran yang masuk pada 1 B dianggap konstan. Karena adanya aliran yang masuk pada 1 B , maka dari persamaan 4.1.12 diperoleh i q t h D A A D A A 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 λ λ λ λ λ = + + + Karena dt d D ≡ maka 2 2 2 dt d D ≡ , sehingga diperoleh 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 q A A t h A A dt t dh A A A A dt t h d ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + λ λ λ λ λ = + + 2 2 2 2 2 2 2 t h dt t dh dt t h d n n ω ω ξ 1 2 1 1 q A A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ 4.2.1 Penyelesaian pada persamaan 4.2.1 terdiri dari dua, yaitu penyelesaian ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah diuraikan di atas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara misalkan b t h = 2 4.2.2 maka 2 = dt t dh dan 2 2 2 = t d t h d 4.2.3 Dari persamaan 4.2.2 dan 4.2.3, maka persamaan 4.2.1 diperoleh 1 2 2 1 1 q A A b n ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ω α 4.2.4 Sehingga i n q A A t h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 1 2 ω α = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 1 1 1 n A A q ω α 2 n R ω 4.2.5 dengan R ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 1 1 A A t q α . a Kasus Diredam Berlebihan bila 1 ξ , mempunyai penyelesaian, yaitu . t t n n n n e c e c t h 1 2 1 1 2 2 2 − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ + 2 n R ω 4.2.6 dimana t t n n n n e c e c 1 2 1 1 2 2 − + − − − − + ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ : Tinggi Air 2 B Sementara. 2 n R ω : Tinggi Air 2 B Stabil. Persamaan 4.2.6 menyatakan tinggi air bejana 2 B saat t. Karena 2 t V = 2 A 2 h t, maka 2 t V 1 2 1 1 2 2 2 t t n n n n e c e c A − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ + 2 2 n R A ω 4.2.7 Persamaan 4.2.7 menyatakan volume air pada bejana 2 B saat t dengan 1 c dan 2 c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari 2 h dan dt dh 2 , seperti yang diuraikan dibawah ini. Misalkan t t n n n n e c e c t h 1 2 1 1 2 2 2 − + − − − − + = ξ ω ω ξ ξ ω ω ξ + 2 n R ω , A h = 2 , B dt dh = 2 maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut.