Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
4 =
x R
, maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial yang nonhomogen.
Teorema 2.2.3.1
Jika diketahui persamaan nonhomogen x
R y
x Q
y x
P y
= +
+ dengan
, ,
x R
x Q
x P
adalah fungsi yang kontinu pada interval ]
, [ b
a . Jika
x adalah sembarang titik pada interval
] ,
[ b a
, dan jika , y
y adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen
mempunyai penyelesaian tunggal x
y pada interval
] ,
[ b a
sedemikian hingga y
x y
= dan
y x
y =
. Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi
pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut, salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab
10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai
awal.
Contoh 2.2.3.2
Carilah solusi dari =
+ y y
= y
dan 1
= y
?
Penyelesaian
Solusi dari =
+ y y
adalah x
y sin
= ,
x y
cos =
dan
1
c y
= x
cos x
c sin
2
+ dimana
1
c ,
2
c adalah sembarang konstanta.
Dari ketiga penyelesaian tersebut hanya x
y sin
= yang memenuhi
= y
dan 1
= y
. Sehingga menurut teorema 1 , penyelesaian dari
= + y
y , jika diketahui
= y
dan 1
= y
adalah x
y sin
=
Teorema 2.2.3.2
Jika
g
y adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari persamaan
homogen, dan
p
y penyelesaian khusus yang diperoleh dari persamaan nonhomogen, maka
+
g
y
p
y adalah penyelesaian
umum persamaan nonhomogen yang diperoleh dari persamaan yang homogen.
Bukti
Misalkan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua yang homogen, maka
x R
y x
Q y
x P
y =
+ +
. Diketahui bahwa
g
y adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari
persamaan diferensial orde dua yang homogen, sehingga =
+ +
g g
g
y x
Q y
x P
y dan
p
y penyelesaian khusus yang diperoleh dari persamaan diferensial orde dua yang nonhomogen,
sehingga x
R y
x Q
y x
P y
p p
p
= +
+ .
Akan dibuktikan y +
=
g
y
p
y , yaitu akan dibuktikan bahwa ruas kanan
y
p g
p g
p g
y y
x Q
y y
x P
y y
+ +
+ +
+ =
+ +
+ =
g g
g
y x
Q y
x P
y
p p
p
y x
Q y
x P
y +
+ x
R x
R =
+ =
.
Teorema 2.2.3.3
Jika
1
x y
dan
2
x y
adalah penyelesaian dari persamaan yang homogen, maka
1
c
1
x y
2
c +
2
x y
juga merupakan penyelesaian persamaan yang homogen untuk sembarang konstanta
1
c dan
2
c .
Bukti
1
x y
dan
2
x y
adalah penyelesaian dari persamaan yang homogen , maka
1 1
1
= +
+ y
x Q
y x
P y
dan
2 2
2
= +
+ y
x Q
y x
P y
. Akan dibuktikan bahwa
1
c
1
x y
2
c +
2
x y
juga merupakan penyelesaian persamaan yang homogen , maka
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
= +
+ +
+ +
y c
y c
x Q
y c
y c
x P
y c
y c
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
= +
+ +
+ +
y c
x Q
y c
x Q
y c
x P
y c
x P
y c
y c
+ +
+
1 1
1 1
y x
Q y
x P
y c
2 2
2 2
= +
+ y
x Q
y x
P y
c +
1
c
2
= c
.
Persamaan
1
c
1
x y
2
c +
2
x y
pada teorema 2.2.3.3 disebut sebagai kombinasi linear dari persamaan
1
x y
dan
2
x y
. Sehingga teorema 2.2.3.3 menyatakan setiap kombinasi linear dari
penyelesaian
1
x y
dan
2
x y
pada persamaan yang homogen juga merupakan penyelesaian.
Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu
= +
+ y
x Q
y x
P y
misalkan ,
x Q
x P
adalah q
p ,
maka =
+ +
qy py
y Persamaan karakteristiknya adalah
mx
e y
= maka
mx
me y
= , dan
mx
e m
y
2
= , sehingga
2
= +
+
mx
e q
pm m
Karena ≠
mx
e , maka
2
= +
+ q
pm m
. Dengan rumus kuadrat diperoleh
2 4
,
2 2
1
q p
p m
m −
± −
=
dimana 2
4
2 1
q p
p m
− +
− =
dan 2
4
2 2
q p
p m
− −
− =
Ada tiga kasus untuk
2 1
, m m
yaitu
a Akar-akar persamaan karakteristiknya
2 1
, m m
real dan berbeda
4
2
− q p
. Penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang homogen adalah
1
c y
=
x m
e
1
x m
e c
2
2
+ .
b Akar-akar persamaan karakteristiknya
2 1
, m m
real yang berulang
4
2
= − q
p . Penyelesaian umum dari persamaan
diferensial yang homogen ini adalah
1
c y
=
x m
e
1
x m
xe c
2
2
+ .
c Akar–akar persamaan karakteristiknya
2 1
, m m
bilangan komplek
. 4
2
− q p
. Sehingga =
− −
± −
= 2
4 ,
2 2
1
q p
p m
m 2
1 4
2
− −
± −
q p
p
1 2
4
2
− −
± −
= q
p p
= −
± −
= i
q p
p 2
4
2
β α i
i q
p P
± =
− ±
− =
2 4
2
2
maka =
1
m β
α i +
dan =
2
m β
α i −
dimana 2
P −
= α
dan 2
4
2
q p
p −
− −
= β
. Sehingga penyelesaian umumnya adalah
1
c y
= x
e
x m
β cos
1
x e
c
x m
β sin
2
2
+ .
Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua yang non homogen, langkah pertama yang harus dilakukan adalah
dengan mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu
= +
+ y
x Q
y x
P y
. Setelah mendapatkan penyelesaian umum tersebut, karena menurut
teorema diatas bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen terdiri dar I penjumlahan penyelesaian
umum dan penyelesaian khusus y +
=
g
y
p
y , sehingga harus
dicari penyelesaian khusus yang sesuai. Perhatikan ruas kanan dari persamaan
x R
y x
Q y
x P
y =
+ +
, dimana
x R
dapat berupa beberapa fungsi yaitu eksponensial, logaritma
, trigonometri, dan lain-lain, yang kadang juga mengalami pegolahan secara aljabar, baik perkalian, penambahan,
pengurangan, pembagian dari beberapa fungsi tersebut. Berikut ini adalah tabel yang dapat digunakan untuk penyelesaian
khusus
p
y berdasarkan bentuk
x R
.
Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Koefisien Tak Tentu.
x R
p
y 1
n n
ct t
P =
,... 2
, 1
, =
n
1 1
... C
Ct t
C t
C t
P
n n
n n
n
+ +
+ +
+ =
− −
2
x c
α sin
1
x c
α cos
2
x C
x C
α α
cos sin
2 1
+
3
x
ce
α x
Ce
α
4
t P
n x
ce
α
t P
n x
Ce
α
=
5
= t
P
n
x c
α
sin
1
t Q
n
x c
α cos
2
= t
P
n
x C
x C
α α
cos sin
2 1
+
t Q
n
Contoh 2.3.3
Selesaikan x
e y
y
x
sin 2
= −
?
Penyelesaian .
Penyelesaian umumnya adalah
x g
e c
c x
y
2 2
1
+ =
. Penyelesaian khusus
p
y .
x e
y
x p
sin
2 1
− =
. Jadi penyelesaian dari
x e
y y
x
sin 2
= −
adalah =
+ x
y x
y
p g
x e
e c
c
x x
sin
2 1
2 2
1
− +