Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana

Ketinggian air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ 1 q . Karena t Ah V = , maka lim lim t Ah t V t t ∞ → ∞ → = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ 1 q A 3.2.14 Volume air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ 1 q A Ketinggian dan volume air pada sistem bejana bergantung dari banyaknya aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana dan aliran yang air yang keluar dari sistem bejana. Untuk memperoleh ketinggian yang sesuai yakni D h . Maka pada sistem bejana diberikan sensor dan katup seperti gambar berikut Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana dengan 1 v : Katup pada pipa pertama. 2 v : Katup pada pipa kedua 1 q q sensor h A Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang diperlukan adalah D h . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air 2 h sama dengan tinggi air D h yang sesuai pada sistem bejana. Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut a Kedua pipa diberi sebuah katup. b Ukuran kedua pipa dianggap sama. c Tinggi air yang sesuai D h pada sistem bejana dianggap konstan. d Aliran air yang masuk pada 1 B dianggap konstan. e Diberikan sebuah sensor pada bejana. Karena akan dicari agar diperoleh tinggi air 2 h sama dengan tinggi air D h yang sesuai pada sistem bejana, maka sensor yang digunakan adalah sensor posisi. Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut a Jika h h D = , maka pengaturan pada katup 1 v tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada 2 B akan mengalir keluar diatur oleh katup 2 v . b Jika h h D ≠ , maka pengaturan pada katup 1 v diubah kembali agar tinggi air h sama dengan tinggi air D h yang sesuai pada sistem bejana. Jika sudah diperoleh h h D = , maka pengaturan pada katup 1 v yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada bejana diatur oleh katup 2 v . Tujuan sensor posisi ini yaitu agar tinggi air h disamakan dengan tinggi air D h yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh 2 h h D = , maka aliran air yang keluar pada bejana keluar melalui katup 2 v . Dan jika diperoleh h h D ≠ , terjadi dua kasus yaitu : a Jika h h D , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem bejana sehingga katup 1 v dikontrol kembali agar dapat diperoleh h h D = . b Jika h h D , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem bejana, sehingga katup 1 v dikontrol kembali Karena pada untuk memperoleh h h D = , maka diasumsikan 1 t q menjadi kesalahan sensor posisi yaitu K t q = 1 [ ] t h t h D − 3.2.15 dimana K : Konstanta 1 2 − s m Persamaan 3.2.7 dan 3.2.15 diperoleh dt t dh A K λ + + t h = A K t h D 3.2.16 Faktor pengintergralan = ∫ = ∫ + + dt A K dt A K e e λ λ t A K e + λ maka C h K t h D + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = λ 1 1 t A K e + − λ 3.2.17 dimana C : konstanta. Dengan menggunakan masalah nilai awal, yaitu h h = , diperoleh D h K h C ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = λ 1 1 3.2.18 Sehingga dari persamaan 3.2.17 dan 3.2.18 diperoleh = t h t A K e + − λ D A K h K e h ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + − λ λ 1 1 3.2.19 Karena . t h A t V = , maka = t V t A K e + − λ D A K h K e A A h ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + − λ λ 1 1 3.2.20 Ketinggian dan volume air pada bejana, untuk waktu jangka waktu yang lama adalah ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + − + − ∞ → ∞ → D K A K t t h K e e h t h λ λ λ 1 1 lim lim K h D λ + = 1 3.2.21 Untuk nilai ∞ → K maka → K λ , sehingga [ ] 1 1 1 → + K λ ., Sedangkan untuk nilai ∞ → λ maka ∞ → K λ , sehingga [ ] 1 1 → + K λ . Sehingga untuk mendapatkan tinggi air sama dengan tinggi air D h yang sesuai pada sistem bejana, dipilih nilai K sebesar mungkin dan nilai λ sekecil mungkin. Karena t Ah V = , maka lim lim t Ah t V t t ∞ → ∞ → = A t ∞ → = lim lim t h t ∞ → A = D h 3.2.22 Berikut ini akan dibahas mengenai bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada sistem dua bejana.

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM

DUA BEJANA Untuk dapat memodelkan matematika pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dua bendungan, dimana bendungan yang satu terletak dari bendungan yang lain, maka gambar 3.2 dan gambar 3.3 di atas dikembangkan menjadi Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk 2 h 1 h 1 A 1 A 1 h 2 A 2 h 2 A 1 q 12 q q q 12 q dengan 1 B : Sistem Bejana yang terletak diatas. 2 B : Sistem Bejana yang terletak dibawah. 1 h : Tinggi air pada 1 B m 2 h : Tinggi air pada 2 B m 1 q : Aliran air yang masuk pada 1 B 1 3 − s m 12 q : Aliran air yang keluar dari 1 B dan masuk pada 2 B 1 3 − s m . q : Aliran air yang masuk pada 2 B 1 3 − s m 1 A : Luas penampang pada 1 B 2 m . 2 A : Luas penampang pada 2 B 2 m . Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masing- masing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi sebagai jalan keluarnya air.

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana

di Atasnya Masalah yang muncul pada dua sistem bejana seperti pada gambar 4.1 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada 2 B . Untuk itu beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu : a Tinggi dan volume air 1 B pada keadaan awal adalah tertentu, h dan V . b Keadaan awal 2 B adalah kosong. c Ukuran pipa aliran air yang keluar dari 1 B lebih besar dari pipa aliran air yang keluar dari 2 B . d Tidak ada aliran yang masuk pada 1 B . e Tidak ada pengaturan pada pipa dari kedua sistem bejana. f Tidak ada kebocoran pada kedua pipa sistem bejana. g Besarnya kedua bejana di anggap sama. Misalkan 1 t V adalah volume air pada 1 B saat t, maka dt t dV 1 adalah laju perubahan volume air pada 1 B saat t, yakni aliran air yang masuk pada saat t dikurangi dengan aliran air yang keluar pada saat t, dengan kata lain dt t dV 1 = 1 q t 12 t q − 4.1.1 Diketahui 1 1 1 t h A t V = 4.1.2 maka dt t dV 1 = [ ] dt t dh A t h A dt d 1 1 1 1 = 4.1.3 Dari persamaan 4.1.1 dan persamaan 4.1.3 diperoleh = dt t dh A 1 1 1 q t 12 t q − 4.1.4