Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua
m k
v =
= .
2 π
ω 2 2.4.2
Frekuensi alami yang mengalami gesekan pada pegas
dapat dirumuskan sebagai berikut
2
2 .
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= =
m b
m k
v π
ω bila
m b
m k
2 2.2.4.3
atau i
m b
m k
v
2
2 .
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− =
= π
ω bila
m b
m k
2 2.2.4.4
dengan k
: konstanta pegas Newton meter. m
: massa pegas kilogram. b
: gaya gesek pegas Newton . Percepatan
yang dialami massa pada pegas yang bergetar diperoleh dari hukum Newton II, yaitu
m F
a =
2.2.4.5 dengan m : massa pegas kilogram
F : gaya pegas Newton .
Diandaikan bahwa gaya gesekan yang terjadi pada pegas gaya peredam sebanding dengan kecepatan massa dan
bekerja dalam arah berlawanan dengan arah gerak dengan gaya gesekan lainnya diabaikan seperti yang diilustrasikan
pada gambar berikut ini
Gambar 2.2.4.1 Pegas
Sehingga gaya peredamnya adalah
cv F
− =
2.2.4.6 dimana
c : konstanta positif, yang disebut dengan konstanta
peredam Dari persamaan 2.2.4.5 dan 2.2.4.6, diperoleh
m F
a =
dt dx
c kx
dt x
d m
− −
=
2 2
.
2 2
= +
+ kx
dt dx
c dt
x d
m 2.2.4.7
Persamaan 2.2.4.7 merupakan persamaan diferensial linear orde dua linear yang homogen, hal ini disebabkan
gaya gesekan yang lain diabaikan yang mempunyai penyelesaian akar-akar penyelesaian sebagai berikut
m mk
c m
c x
2 4
2 2
, 1
− ±
− =
c
k
m
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ±
− =
m k
m c
m c
2
2 2.2.4.8
Penyelesaian dari akar-akar pada persamaan 2.2.4.8 tergantung dari besarnya konstanta peredam pada frekuensi
alami yang mengalami gesekan , dimana nilainya dapat
positif, negatif, dan nol. Untuk jelasnya perhatikan berikut ini.
m k
m c
=
2 2
4 mk
c 2
= misalkan
c c
=
1
maka mk
c 2
1
= 2.2.4.9
sehingga
mk c
c c
2
1
= =
ξ
dimana
ξ
sering disebut sebagai rasio peredam. Dengan menggunakan istilah rasio peredam dan frekuensi
alami tanpa adanya gesekan, persamaan 2.2.4.7 dapat ditulis
2 2
= +
+ kx
dt dx
c dt
x d
m
2 2
= +
+ x
m k
dt dx
m c
dt x
d
2
2 2
2
= +
+ x
dt dx
dt x
d ω
ω ξ
Sehingga m
mk c
m c
x 2
4
2 2
, 1
− ±
− =
dapat ditulis sebagai berikut
1
2 2
, 1
− ±
− =
ξ ω
ω ξ
x 2.2.4.10
Persamaan di atas hanya berlaku untuk 1
≥ ξ
, akan tetapi jika
1
ξ
, persamaan di atas menjadi i
x
2 2
, 1
1 ξ
ω ω
ξ −
± −
= 2.2.4.11
Penyelesaian persamaan 2.2.1.4.7 terdiri dari tiga kasus seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya.
Contoh 2.2.4.1
Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625, konstanta redaman sebesar 40 ,massa sebesar 1, diketahui
pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang terjadi pada pegas sebesar 100, maka
15 sin
3 20
20
t e
t x
t −
= Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan
setimbang apabila =
t x
, yaitu
15 sin
= t
diperoleh 2 ,
= t
detik dan 4
, =
t detik
Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila =
t x
, yaitu +
− =
−
15 sin
3 400
20
t e
t x
t
15 cos
100
20
=
−
t e
t
diperoleh 42
, =
t detik
Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas sejauh 1,69 meter.
Gambar 2.2.4.1 Jarak Pegas
Pada gambar 2.2.4.1 di atas, terlihat bahwa pegas mengalami dua kali dalam keadaan stabil yaitu saat 0,2 dan
0,4 detik, dan jarak maksimum yang dilakukan oleh pegas tersebut sejauh 1,69 meter.
Contoh 2.2.4.2
Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625, tidak ada konstanta redaman ,massa sebesar 1, diketahui
pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang terjadi pada pegas sebesar 100, maka
t t
x 25
sin 4
= Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan
setimbang apabila =
t x
, yaitu 25
sin =
t diperoleh
125 ,
= t
detik dan Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila
= t
x , yaitu
t t
x 25
cos 100
= diperoleh
0628 ,
= t
detik Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas
sejauh 3,99 meter. Pada kasus tanpa adanya rasio peredam pada pegas adalah hal yang unik, sebab pegas tidak akan
pernah berhenti bergetar, dan akan selalu bergetar sehingga mencapai jarak maksimum sejauh 3,99 meter dan jarak
minimum sejauh 3,99 m dari keadaan setimbang, seperti yang diilustrasikan pada gambar di berikut ini.
Gambar 2.2.4.2 Jarak Pegas