Graik Fungsi y = cos x, x ∈ [0°,360°]
391
Matematika
Alternatif Penyelesaian 1 Persamaan cos x
2
– 2.cos x = – 1 merupakan persamaan trigonomteri berbentuk persamaan kuadrat. Tentunya,
untuk suatu persamaan kuadrat kita membutuhkan akar- akar persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena itu dapat
kita tulis: cos
x
2
– 2.cos x + 1 = 0 ⇔ cos x – 1.cos x – 1 = 0 atau cos x
– 1
2
= 0 ⇔ cos x = 1. Nilai
x yang memenuhi persamaan cos x = 1 adalah x =
0° dan x = 360° kembali sesuaikan dengan Tabel 8.2. Nilai cos x
= – 1 berlaku untuk x = 180° dan cos x = 0 untuk x = 90° dan x = 270°.Akibatnya, kita temukan
pasangan titik: 0°,1, 90°,0, 180°,–1, 270°,0 dan 360°,1
2 Persamaan −
− −
− −
− −
− 7
8 .cos x
– 2 = 0 dapat kita sederhanakan menjadi:
2− −
− −
− −
− −
2 3
4 5
6 .cos x
– 2 = 0 ⇔ cos x = 1
6 1
2 −
− −
− −
− −
− 2
3 4
5 6
. Nilai x yang memenuhi persamaan cos x
= 1
6 1
2 −
− −
− −
− −
− 2
3 4
5 6
adalah untuk x = 45° dan x = 315° lihat Tabel
8.2. Sedangkan untuk cos x = – 1
6 1
2 −
− −
− −
− −
− 2
3 4
5 6
berlaku untuk x
= 135° dan x = 225°. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan pasangan titik-titik berikut:
45 1
2 2
135 1
2 2
225 1
2 2
315 1
2 2
°
°
°
°
, ,
, ,
, ,
.
- -
• Selanjutnya, silahkan bentuk pasangan-pasangan titik yang lain, dapat kita lihat dari Tabel 8.2.
Selanjutnya, minta siswa untuk membentuk pasa-
ngan-pasangan titik yang lain, yang dilihat dari
Tabel 8.2.
392
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Jadi, dengan menggunakan semua pasangan-pasangan titik di atas, berikut ini disajikan pada graik berikut.
Gambar 8.30 Graik fungsi y = cos x, x ∈ [0°,360°]
Graik fungsi y = cosx berbentuk gelombang yang bergerak secara terartur dari titik mencapai titik hingga titik .
♦ Berikan keterangan lain yang kamu peroleh dari graik y
= cosx. ♦ Selanjutnya, tentukanlah pasangan koordinat titik-titik
yang dilalui graik fungsi y = secx, untuk x
∈
[0°, 360°]. Kemudian sajikan pasangan titik-titik tersebut dalam
graik fungsi trigonometri. Dari graik y = cos x,
minta siswa menemukan ciri-ciri graik tersebut.
Beri kesempatan ke siswa lain untuk member masu-
kan atau menyimpulkan
sifat-sifat graik y = cos x, yaitu:
a Simpangan graik = 1 b Nilai maksimum fung-
si = 1; nilai minimum fungsi = -1
c Periode gelombang = 2π.
d Perubahan nilai fung- si dari x = 0° turun
sampai x = 180° ke- mudian naik hingga
mencapai nilai maksi-
mum fungsi.
393
Matematika
Sehingga disketsakan seperti graik berikut ini.
Gambar 8.31 di bawah ini adalah graik y = cos bx, x
∈
[0°,360°], b
∈
R . Cermati dan tentukan perbedaan dengan graik y = cos x.
Gambar 8.31 Graik fungsi y = cos bx, x ∈ [0°,360°], b ∈ R
♦ Untuk x
∈
[0°, 360°], graik y = cosx selalu mulai bergerak dari y
= 1. Kondisi berbeda dengan graik y = b cosx, untuk b
∈
R, tetapi juga memiliki kesamaan. Temukan perbedaan dan kesamaannya.
♦ Fungsi y = sin x dan y = cos x, untuk x
∈
[0°,360°] akan bernilai sama untuk suatu x. Tentukan x yang
memenuhi. Pastikan siswa mampu
membaca graik di sam- ping dengan mengajukan
pertanyaan perbedaan dan persamaan graik
y = sec x dan y = cos x.
Koordinasikan siswa be- lajar dalam kelompok
untuk menemukan per- bedaan dan persamaan
graik y=cos x dan graik y=bcos x.
Pastikan siswa dapat me- mahami arti konstanta b,
sebagai penentu simpan-
gan dan jangkauan graik y = b cos x.
Ajak siswa mengama- ti kembali Tabel 8.1;
Tabel 8.2 dan graik y = sin x serta y = cos x,
untuk menemukan nilai x sedemikian sehingga nilai
kedua fungsi sama, yaitu x
= 45 .
394
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
c. Graik Fungsi y = tan x, x ∈ [0°,360°].
Dengan cara yang sama, menggambarkan graik fungsi y
= sin x dan y = cos x, graik fungsi y = tan x, untuk x ∈ [0°,360°] dapat kita gambarkan sebagai berikut.
Gambar 8.32 Graik fungsi y = tan x, x ϵ [0°,360°]
Perhatikan nilai fungsi disaat x →90° dan x → 270° dari
kanan, nilai y = tan x menuju tak terhingga. Sebaliknya, untuk x
→ 90° dan x → 270° dari kiri, nilai y = tan x menuju negatif tak terhingga.
♦ Dengan kondisi ini, apa yang dapat kalian simpulkan dari gambar di atas?
Gambar 8.33 Graik fungsi y = tan ax, x ϵ [0°,360°], dan a ϵ R
♦ Dari graik y = tan x dan y = tan ax, untuk x
∈
[0°, 360°], nilai fungsi dari graik manakah yang paling
cepat bertambah? Berikan alasanmu Dengan pengamalaman
membaca graik fungsi y = sin x dan y = cos x,
minta siswa untuk mampu secara mandiri menemu-
kan sifat-sifat graik fung- si y = tan x.
Guru memberikan klarii- kasi untuk setiap jawaban
siswa yang kurang tepat.
395
Matematika
Dari ketiga graik sinus, cosinus dan tangen yang sudah dikaji di atas, terdapat x
∈
[0°, 360°] sedemikian nilai fungsi sinus sama dengan nilai fungsi cosinus, atau
pasangan fungsi yang lain. Mari kita cermati contoh berikut ini.
Contoh 8.11
Tentukan nilai x yang memenuhi:
a. sin 2x = cos x b. cos
x = cos 2x
c. tan 2x = √2 cos 2x Untuk x ∈ [0°, 360°].
Alternatif Penyelesaian
a. Dengan mencermati kembali graik y = sin 2x dan y = cos x
, ditemukan nilai x yang memenuhi persamaan sin 2x = cos x, yaitu pada saat x = 30°.
♦ Coba temukan nilai x yang lain yang memenuhi kesamaan tersebut.
b. Dengan menggunakan Tabel 8.2, dapat ditentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos x
= cos 2x . Nilai x = 0°dan x = 120° memenuhi persamaan tersebut.
♦ Menurut kamu, masih adakah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut? Jika ada, tentukan;
jika tidak ada berikan alasannya. c. Adanya √2 pada ruas kanan pada persamaan tan 2x =
√2 cos 2x merupakan petunjuk untuk menemukan nilai x
yang memenuhi, yaitu pada saat x = 22,5°. ♦ Temukan nilai x lainnya yang memenuhi
persamaan tersebut Bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu.
Pastikan siswa mampu memahami perbedaan
graik fungsi y = tan x dan y = tan ax dengan menga-
jukan pertanyaan, misal- nya:
Berapa nilai fungsi = tan x dan y = tan ax, pada
saat x = 135 ?.
Ajukan pertanyaan- pertanyaan siswa untuk
menggiring mereka mam- pu menemukan nilai fung-
si yang mana paling cepat
bertambah.
Ajak siswa mencoba me- nemukan nilai x lain yang
memenuhi persamaan sin 2x = cos x, melalui men-
coba nilai-nilai x. Ajak siswa berpikir dari
nilai yang terkecil, x = 0. Untuk persamaan cos
x= cos 2x, pastikan siswa paham akan maknanya,
yaitu mencari nilai yang membuat kesamaan ber-
nilai sama. Ajak siswa untuk mencoba
nilai x yang lain hingga siswa mampu menyim-
pulkan tidak ada nilai x yang lain untuk memenuhi
persamaan tersebut.