Ukuran Sudut Derajat dan Radian

350 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Gambar 8.2 Ukuran radian Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α suatu lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari, perhatikan Gambar 8.2. Jika besar ∠ AOB = α, AB � = OA = OB maka α = AB r � = 1. Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut tersebut dalam satuan radian diselesaikan menggunakan deinisi perbandingan: Deinisi 8.1 ∠ AOB = AB r � rad Lebih lanjut, hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad. Seperti dinyatakan dalam deinisi berikut Deinisi 8.2 360 O = 2 � rad atau 1 O = 180 π rad atau 1 rad ≈ 57,3 O Perhatikan hubungan secara aljabar antara derajat dengan radian berikut ini. Contoh 8.1 1. ≠ 1 3 1 4 putaran = ≠ 1 3 1 4 × 360 O = 90 O ⇔ 90 O = 90 × 180 π rad = ≠ 180 1 2 3 � rad. Sebelum mengkaji Contoh 8.1, ajak siswa untuk mengajukan pertanyaan- pertanyaanide-ide terkait konsep dasar trigonome- tri. Selanjutnya ajak siswa untuk memahami contoh berikut. 351 Matematika 2. ≠ 1 2 1 3 putaran = ≠ 1 2 1 3 × 360 O = 120 O ⇔ 120 O = 120 × 180 π rad = ≠ 1 4 2 3 � rad. 3. ≠ 180 1 2 putaran = ≠ 180 1 2 × 360 O = 180 O ⇔ 180 O = 180 × 180 π rad = � rad. 4. ≠ 1 4 2 3 putaran = ≠ 1 4 2 3 × 360 O = 240 O ⇔ 240 O = 240 × 180 π rad = ≠ 3 2 4 3 � rad. 5. ≠ 2 3 3 4 putaran = ≠ 2 3 3 4 × 360 O = 270 O ⇔ 270 O = 270 × 180 π rad = ≠ 3 4 3 2 � rad. Tentunya dengan mudah kalian mampu mengubah ukuran sudut yang lain. Pahami contoh berikut ini. Contoh 8.2 Selesaikan soal-soal ukuran sudut berikut. 1. 1 5 π rad = ... putaran = ...° 2 1 5 1 6 putaran = ... rad = ...° 3. 135° = ... rad = ... putaran 4. Berapa radian sudut yang dibentuk jarum jam pada pukul 11.00? 5. Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, maka tentukanlah banyak putaran dalam satu detik. Berikan soal-soal lain untuk memastikan ke- trampilan siswa dalam mengubah satuan sudut derajat ke radian, mi- salnya: a 1 12 putaran. b 1 15 putaran. c 1 18 putaran. 352 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Alternatif Penyelesaian 1. 1 putaran = 360° = 2π rad. Jadi, 1 6 1 2 putaran = π rad. Oleh karena itu, 1 5 π rad = 1 5 × 1 6 1 2 putaran = 1 10 putaran = 1 10 × 360° = 36°. 2. Karena 1 putaran = π rad 1 5 1 6 putaran = 1 5 1 6 × 2π rad = 1 2 1 3 π rad = 1 2 1 3 π × 180 π = 60°. 3. 135°= 135° × 180° π rad = 2 3 3 4 π rad = 2 3 3 4 × 1 6 1 2 putaran = 3 8 putaran. 4. Sudut yang terbentuk pada pukul 11.00 adalah 30, 30 = 30 × 180 π rad = 1 5 1 6 π rad. 5. Jika setiap menit, alat tersebut melakukan rotasi sebanyak 60 putaran, maka setiap satu detik pemancar tersebut melakukan 3600 putaran. 360° pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa Babilonia. Hitungan satu tahun pada kalender Babilonia, yaitu sebanyak 365 hari.

2. Konsep Dasar Sudut

Dalam kajian geometris, sudut dideinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal initial side ke sisi akhir terminal side . Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini. 353 Matematika Sisi awal Sisi akhir Sisi akhir Sisi awal a. Sudut bertanda positif Gambar 8.3 Sudut berdasarkan arah putaran b. Sudut bertanda negatif Dalam bidang koordinat kartesius, jika sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu x dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu, disebut sudut standar baku. Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0°, 90°, 180°, 270° dan 360°. Sebagai catatan, bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya digunakan huruf Yunani, seperti, α alpha, β betha , γ gamma, dan θ tetha, dan juga digunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D. Cermati gambar di bawah ini. Jika sudut yang dihasilkan sebesar α sudut standar, maka sudut β disebut sebagai sudut koterminal, sehingga α + β = 360 O , seperti gambar berikut. Gambar 8.4 Sudut secara geometri dan pembatas kuadran Y α β a. Sudut standar dan sudut koterminal b. Besar sudut pada setiap kuadran 180 O O Kuadran II 90 O – 180 O Kuadran III 180 O – 270 O 90 O Kuadran I O – 90 O Kuadran IV 270 O – 360 O 270 O X