Transpos Matriks Silabus dan RPP Kurikulum 2013 K10 BG Matematika
181
Matematika
B
6 3
200 475
126 350
120 113
275 640
247 400
2222 1174
200 1402
111 330
98
×
=
9 9
340
Dengan memperhatikan kedua matriks B
3 ×6
dan B
6 ×3
, dalam kajian yang sama, ternyata memiliki relasi. Relasi
yang dimaksud dalam hal ini adalah “perubahan posisi elemen matriks”, atau disebut transpos matriks, yang diberi
simbol B
t
sebagai transpos matriks B. Namun beberapa buku menotasikan transpos matriks B dengan B atau B.
Perubahan yang dimaksud dalam hal ini adalah, setiap elemen baris ke-1 pada matriks B menjadi elemen kolom
ke-1 pada matriks B
t
, setiap elemen baris ke-2 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks B
t
, demikian seterusnya, hingga semua elemen baris pada matriks
matriks B menjadi elemen kolom pada matriks B
t
. Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpos suatu
matriks.
Contoh 4.2
a. Diberikan matriks S =
2
3 5
7 5 10 15
20 3
6 9
12 ,
maka transpos matriks S adalah
S S
t
=
3 5
7 5
20 9
12 2
5 3
3 10
6 5
15 9
7 20
23
A C
Untuk lebih memahami tentang transpos matriks,
ajukan beberapa contoh berikut. Minta siswa me-
mahami tentang peruba- han ordo matriks akibat
adanya transpos matriks tersebut.
182
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
b. Jika A = [–3 4 6 8 19], maka A
t
= −
3
4 6
8 19
,
c. Jika C
C
t
=
=
1 5
3 14
9 4
2 2
5 8
6 3
7 12
4 1 14
2 3
9 5
7 5
4 8 12
3 2
, maka 6
6 4
.
Cara lain menentukan transpos matriks persegi.
Jika matriks, C =
1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7
12 4
maka transpos matriks
C dapat ditentukan melalui, 1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7
12 4
Ubah posisi elemen matriks yang simetris dengan diagonal
utama matriks.
Akibatnya, C
t
=
1 14
2 3
9 5
7 5
4 8 12
3 2
6 4
Ajukan pertanyaan kepa- da siswa bagaimana cara
lain menentukan transpos suatu matriks. Misalnya
seperti cara di samping.
183
Matematika
Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal
berordo m × n, maka transposnya berordo n × m.
Coba kamu pikirkan… • Mungkinkah suatu matriks sama dengan transposnya?
Berikan alasanmu • Periksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, untuk setiap matriks A dan B berordo
m × n?
Alternatif Penyelesaian
Ada matriks yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri, diantaranya matriks identitas I
n × n
, misalnya: Jika I
3 3
1 1
1
×
=
, maka
I
t t
3 3
1 1
1 1
1 1
×
=
=
. Selanjutnya untuk memeriksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, diberikan:
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
a a
a a
m m
mn 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
b b
b b
m m
mn 2
3
...
Berikan kesempatan ke-
pada siswa untuk men- coba menemukan suatu
matriks yang transposnya sama dengan matriks itu
sendiri. Misalnya seperti alterna-
tif penyelesaian di sam- ping.
184
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
maka,
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
a a
a a
a
n n
n mn
1 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
b b
b b
b
n n
n mn
1 2
3
...
Oleh karena itu,
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a
m n t
m n t
m m
× ×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22
... b
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
m m
m m
22 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3
+ +
+ +
+ +
... ...
1 1
1 2
2 3
3 n
n n
n n
n mn
mn
b a
b a
b a
b +
+ +
+
...
.
Disisi lain, matriks
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t n
n ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
12 12
13 13
1 1
21 21
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
n n
n n
m 23
23 2
2 31
31 32
32 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
m m
m m
m mn
mn t
1 2
2 3
3
+ +
+
...
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t m
m ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
m m
m m
n 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
n n
n n
n mn
mn 1
2 2
3 3
+ +
+
...
.
Jadi ditemukan, matriks A
t
+ B
t
= A + B
t
.
185
Matematika