maka sebuah data time series lebih mudah diprediksi jika tidak hanya komponen trend yang analisis, namun juga ketiga komponen lain.
Adapun metode ini terdiri dari : 1. Metode dekomposisi
2. Metode pemulusan 3. Metode Box Jenkins
4. Metode proyeksi trend dengan regresi
2.4.2 Beberapa Uji Yang Digunakan
Adapun beberapa uji yang digunakan pada peramalan antara lain:
a. Uji Kecukupan Sampel
Sebelum melakukan analisa terhadap data yang diperoleh, langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap anggota sampel. Hal ini
dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95
α = 0,05 rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:
2
1 1
2 1
2
20
N t
t N
t N
t t
t
Y Y
Y N
N II.1a
dimana: = Ukuran sampel yang dibutuhkan
N = Ukuran sampel percobaan
= Data aktual
Apabila N , maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel.
Universitas Sumatera Utara
b. Uji Musiman
Untuk mengetahui adanya komponen musiman dilakukan uji musiman dengan hipotesa ujinya sebagai berikut:
= data mengandung musiman
= data tidak mengandung musiman
Table 2.1 Uji musiman
Periode Musiman
1 2
3 4
… K
1 …
2 …
3 …
. .
. .
. …
. .
. .
. .
… .
. .
. .
. …
. N
… Jumlah
… Untuk perhitungan digunakan notasi:
i k
i i
y
n J
R
1 2
II.1b ,
Sehingga diperoleh:
Kemudian hasil perhitungan disusun dalam tabel ANAVA sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Table 2.2 ANAVA Uji Musiman
Sumber Derajat
Jumlah Jumlah Kuadrat
Statistik Variansi
Bebas Kuadrat
Rata-rata Uji
Rata-Rata 1
Antar Musiman k - 1
Dalam Musiman Total
Kriteria pengujian adalah:
Jika maka
diterima data dipengaruhi musiman jika
maka ditolak tidak dipengaruhi musiman
c. Uji Trend
Tujuan dari uji trend adalah untuk melihat apakah ada pengaruh komponen trend terhadap data dengan hipotesis ujinya sebagai berikut:
= frekuensi naik dan turun dalam data adalah sama, artinya tidak ada trend = frekuensi naik dan turun tidak sama, artinya dipengaruhi oleh trend
Statistik penguji:
dimana:
Universitas Sumatera Utara
dengan:
m = frekuensi naik n
= jumlah data = frekuensi naik
= standart error antara naik dan turun
Kriteria pengujian adalah: Dengan taraf signifikan ,
diterima jika dan
ditolak jika
2.5 Klasifikasi Model Box- Jenkins
Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu: 1. Model Autoregressive
2. Model Moving Average 3. Model Campuran
Model campuran ini terdiri dari model Autoregressive-Moving Average ARMA dan model Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA.
2.5.1 Model Autoregressive
Bentuk Umum dari model AutoRegressive AR dengan ordo p ARp atau model ARIMA p, 0, 0 adalah sebagai berikut:
II.2
dimana:
= Nilai series yang stasioner
Universitas Sumatera Utara
= suatu konstanta = parameter autoregressive ke-i dengan
i = 1, 2, 3,… , p = nilai residusisaan
Persamaan umum model Autoregressive AR dengan ordo p juga dapat ditulis sebagai berikut:
II.3
Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur backward shift operator yang secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
, artinya jika operator bekerja pada
maka akan menggeser data tersebut sebanyak d periode ke belakang.
2.5.2 Model Moving Average
Bentuk umum model Moving Average dengan ordo q MA q atau ARIMA 0, 0, q dinyatakan sebagai berikut:
II.4
Dengan menggunakan operator penggerak mundur model rataan bergerak diatas dapat ditulis sebagai berikut :
II.5
dimana:
= Nilai series yang stasioner = Suatu konstanta
= parameter moving average ke- i dengan i = 1, 2,…,q
Universitas Sumatera Utara
= nilai kesalahan pada saat t B
= Operator penggerak mundur Backward shift operator
2.5.3 Model Campuran Autoregressive-Moving AverageARMA
Apabila suatu data deret waktu telah stasioner tanpa proses differencing d = 0 dinotasikan dengan model ARIMA p, 0, q atau model ini dinamakan dengan Model
AutoRegressive-Moving Average ARMA p, q. Secara singkat bentuk umum model campuran Autoregressive-Moving Average berordo p,q yang mengkombinasikan
proses Autoregressive ordo p dan proses Moving Average ordo q ditulis dengan ARMAp,q adalah sebagai berikut:
II.6
Atau dengan operator penggerak mundur proses ARMA p,q dapat ditulis sebagai berikut:
II.7
2.5.4 Model Autoregressive Integrated Moving AverageARIMA
Apabila data deret waktu tidak stasioner, model Box-Jenkins dapat diterapkan dengan jalan melakukan differencing proses pembedaan. Model Box-Jenkins ini disebut
model Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA Box Jenkins. Jika d menyatakan banyaknya proses differencing,
maka bentuk umum
model ARIMAp,d,q yang mengkombinasikan model Autoregressive berordo p dengan
model Moving Average berordo q ditulis dengan ARIMAp,d,q adalah sebagai berikut:
II.8
Universitas Sumatera Utara
Atau dengan operator penggerak mundur model ARIMAp,d,q dapat ditulis sebagai berikut:
II.9
Dalam hal ini menyatakan bahwa data deret waktu sudah didiferencing. Pindyck
dan Rubinfield 1981 menotasikan sebagai berikut:
II.10
Dengan adalah rata-rata dari data deret waktu yang sudah di differencing.
Persamaan model ARIMA yang sederhana ARIMA 1,1,1 adalah sebagai berikut:
II.11
Atau
II.12
2.6 Kestasioneran dan Faktor Musiman
2.6.1 Kestasioneran Data
Kestasioneran data dapat diperiksa dengan analisa autokorelasi dan autokorelasi parsial. Data yang dianalisa dalam model ARIMA Box-Jenkins adalah data yang
bersifat stasioner yaitu data yang rata-rata dan variansinya relatif konstan dari satu periode ke periode selanjutnya.
Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus, sedangkan
autokorelasi-autokorelasi dari data yang stasioner mengecil secara drastis membentuk
Universitas Sumatera Utara
garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau ketiga. Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua, maupun periode ketiga tergolong signifikan sedangkan
autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka datanya bersifat stasioner.
Menurut Box-Jenkins data deret waktu yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan proses
pembedaan differencing pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut:
untuk t = 2, 3, …, N
II.13
Secara umum proses pembedaandifferencing ordo ke – d dapat ditulis sebagai
berikut: II.14
2.6.2 Faktor Musiman
Makridakis 1991 dan Assauri 1984 mendefinisikan musiman sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Pola musiman dapat berupa tiga
bulanan triwulan, empat bulanan kuartal, enam bulanan semester atau dua belas bulanan tahunan. Notasi ARIMA yang digunakan untuk mengatasi aspek musiman ,
secara umum ditulis sebagai berikut:
II.15
Dalam hal ini komponen p,d,q adalah bagian yang tidak mengandung musiman dari model, komponen P,D,Q adalah bagian musiman dari model dan S
adalah jumlah periode per musim.
Persamaan model ARIMA yang sederhana yang mengandung faktor musiman ARIMA 1,1,1
adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
II.16
dimana:
= proses AR1 bukan musiman = proses AR1 musiman
= pembedaan ordo pertama bukan musiman = pembedaan ordo pertama musiman
= proses MA1 bukan musiman = proses MA1 musiman
2.6.3 White Noise
Deret yang merupakan deret sisaan residu diharapkan bersifat
white noise artinya residu tersebut berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sama dengan nol dan varians konstan. Jika residu bersifat white noise maka residu hanya
merupakan suatu proses gangguan kecil yang tidak perlu diperhatikan. Hal ini dapat dilihat dari nilai statistik
tabel dimana koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial dari residu tidak berbeda nyata dari nol.
2.7 Tahap Identifikasi Model
Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk mengetahui ciri, pola data dan jenis dari data, sehingga fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi
Parsial dapat memenuhi maksud untuk mengidentifikasi suatu model tentatif atau model sementara yang dapat disesuaikan dengan data. Atau dengan kata lain fungsi
autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial yang melebihi batas interval penerimaan confidence limit dapat digunakan untuk mengidentifikasikan model ARIMA Box-
Jenkins dengan melihat perilaku dari kedua fungsi tersebut gujarati, 1995.
Universitas Sumatera Utara
2.7.1 Fungsi Autokorelasi
Koefisien autokorelasi adalah menyatakan hubungan atau asosiasi antara nilai-nilai variabel
dengan variabel . Nilai koefisien autokorelasi dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan:
, II.17
dengan:
atau II.18
deret stasioner mempunyai nilai rataan dan varians yang sama k menyatakan ketertinggalan waktu time lag
Menurut Pindyck dan Rubinfield 1981 secara matematis rumus untuk koefisien autokorelasi dapat dituliskan dengan rumus seperti pada persamaan sebagai
berikut:
n t
t k
t k
n t
t k
Y Y
Y Y
Y Y
r
1 2
1
II.19
dimana:
= nilai koefisien korelasi = data aktual pada periode t
= nilai tengah rata-rata dari data aktual = data aktual pada periode t dengan time lag k
Koefisien autokorelasi perlu diuji untuk menentukan apakah secara statistik
nilainya berbeda secara signifikan dari nol atau tidak. Nilai Standard Error SE dari
adalah:
Universitas Sumatera Utara
II.20
Suatu deret bersifat acak apabila koefisien autokorelasi berada dalam batas interval seperti yang dinotasikan pada persamaan berikut:
II.21
Suatu koefisien autokorelasi dikatakan tidak berbeda secara signifikan dari nol apabila nilainya berada dalam batas interval, dan dikatakan berbeda secara
signifikan dari nol jika nilai koefisien autokorelasi berada diluar batas interval. Nilai koefisien autokorelasi yang melebihi interval batas penerimaan dapat digunakan untuk
menentukan model dari Moving Average Gujarati, 1995.
2.7.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial untuk lag k didefinisikan sebagai autokorelasi dari observasi deret waktu yang dibedakan oleh lag sebanyak k unit waktu setelah pengaruh observasi
untuk lag = 1, 2, 3, … , k-1 telah dihilangkan.
Koefisien autokorelasi parsial adalah ukuran yang menunjukkan tingkat keeratan hubungan antara
dengan variabel dengan menghilangkan atau
mengabaikan pengaruh dari time lag 1, 2, 3,…, k-1. Dengan kata lain koefisien autokorelasi parsial mengukur derajat hubungan antara nilai-nilai sekarang dengan
nilai sebelumnya untuk time lag tertentu sedangkan pengaruh nilai variabel time lag yang lain dianggap konstan sehingga dapat diabaikan. Nilai koefisien autokorelasi
parsial yang melebihi interval batas penerimaan pada lag –p dapat digunakan untuk
menentukan model dari proses Autoregressive . gujarati, 1995.
Universitas Sumatera Utara
2.8 Tahap Estimasi Parameter Model
Dari model awal yang sudah diidentifikasi, selanjutnya dilakukan Estimasi parameter model untuk mencari parameter estimasi yang paling efisien untuk model. Estimasi
parameter dilakukan dengan menetapkan model awal parameter koefisien model dengan bantuan analisis regresi linier untuk mencari nilai konstanta dan koefisien
regresi dari model. Sebagai contoh untuk keperluan estimasi maka model ARIMA 2,1,0 diubah menjadi:
Nilai estimasi parameter ,
diperoleh dengan menyelesaikan perhitungan berikut:
II.22
2.9 Tahap Verifikasi dan Pemeriksaan Ketepatan Model
