Trigonometri:Dwi Purnomo-
22 b.
2 4
4 4
2 2
r
4 7
atau 4
3 4
4 arctan
Selanjutnya, karena letak titik Q di kuadran II, maka:
4 3
dengan 2
4
r
, atau
4 7
dengan 2
4
r
. Jadi,
4 3
, 2
4
Q
atau
4 7
, 2
4
Q
.
3 Nyatakan persamaan
sin
2a r
ke dalam sistem koordinat kartesius.
Jawab Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:
sin 2
2
r
a r
Selanjutnya, karena
2 2
2
y x
r
dan
y r
sin
maka:
, 2
2
2 2
2 2
ay y
x ay
y x
yaitu persamaan lingkaran dengan pusat
, a
dan jari-jari a .
4 Nyatakan
16 4
2 2
y
x ke dalam system koordinat kutub.
Penyelesaian: Dengan substitusi
sin dan
cos r
y r
x
maka diperoleh: 16
sin 4
cos
2 2
2 2
r r
. 16
sin 3
1
2 2
r
1.2 Sistem Koordinat dalam Ruang
Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat. Sistem
koordinat yang paling umum adalah koordinat . Jika kita berbicara ruang 2 dimensi,
Trigonometri:Dwi Purnomo-
23 maka koordinat Kartesius 2 dimensi memiliki pusat di
O dan 2 sumbu koordinat yang saling tegaklurus, yaitu
x dan
y
. Selanjutnya koordinat kartesius 2 dimensi dapat diperluas menjadi koordinat
Kartesius 3 dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu
z y
x ,
,
. Pada Gambar berikut menyatakan titik P dapat dinyatakan dalam
z y
x ,
,
. OP adalah jarak titik
P
ke pusat O .
Gambar 1.12
Koordinat 3 dimensi
, ,
z y
x
pada gambar 1.12 di atas dapat diubah menjadi koordinat tabung dan koordinat bola.
Hubungan diantara ketiganya, jika
, ,
z y
x P
adalah letak titik dalam koordinat , maka
, ,
z r
P
adalah letak dalam koordinat tabung dan
, ,
P
adalah titik dalam koordinat bola Spherical Coordinate.
Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 1.13
X ,
, z
y x
P
X X
Y Z
Y Z
Y Z
, ,
z r
P
, ,
P
Trigonometri:Dwi Purnomo-
24 Koordinat dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan:
cos
r x
cos
r y
z z
2 2
2
r y
x
x y
tan
Perhatikan contoh berikut: 1.
5 ,
3 ,
3
menyatakan letak titik
P
pada ruang dalam koordinat . Ubah dan Nyatakan letak titik dalam koordinat tabung.
Jawab Koordinat kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan
cos r
x
,
cos
r y
,
z z
,
2 2
2
r y
x
dan
x y
tan
sehingga:
2 3
18 3
3
2 2
r
4 1
arctan 1
3 3
tan
atau Jadi koordinat tabung dari
5 ,
3 ,
3
adalah
5 ,
4 ,
2 3
2.
2 ,
6 ,
6
menyatakan letak titik
Q
pada ruang dalam koordinat tabung. Ubah dan Nyatakan letak titik
Q
dalam koordinat . Jawab
Koordinat kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan
cos r
x
,
cos
r y
,
z z
,
2 2
2
r y
x
dan
x y
tan
sehingga:
3 3
2 3
. 6
6 cos
6
x
Trigonometri:Dwi Purnomo-
25
3 2
1 .
6 6
sin 6
y
Jadi koordinat
2 ,
6 ,
6
adalah
2 ,
3 ,
3 3
3.
3 2
, 3
, 8
menyatakan letak titik W dalam koordinat bola. Ubah dan nyatakan
letak titik W dalam koordinat dan koordinat tabung.
Jawab Koordinat , koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai
berikut:
2 2
sin y
x r
atau r
cos
z
cos sin
x
sin sin
y
2 2
2
z y
x
sehingga dari titik
3 2
, 3
, 8
diketahui
3 2
3 ,
8
dan
dan diperoleh
3 2
2 1
2 3
. 8
3 cos
3 2
sin 8
x
6 2
3 2
3 .
8 3
sin 3
2 sin
8
y
4 2
1 8
3 2
cos 8
z
3 4
48 6
3 2
3 4
2 3
8 3
2 sin
2 2
2 2
y
x r
atau r
Trigonometri:Dwi Purnomo-
26 Jadi koordinat
3 2
, 3
, 8
adalah
4 ,
6 ,
3 2
, dan koordinat tabung
3 2
, 3
, 8
adalah
4 ,
3 ,
3 4
.
4.
6 ,
4 ,
3 4
menyatakan letak titik
M
dalam koordinat . Ubah dan nyatakan letak titik
M
dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Jawab
Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:
2 2
sin y
x r
atau r
cos
z
cos sin
x
sin sin
y
cos
z
2 2
2
z y
x
sehingga dari titik
6 ,
3 4
, 4
diketahui
6 3
4 ,
4
z
dan y
x
dan diperoleh
10 6
3 4
4 6
5 3
3 1
3 4
4 tan
8 64
3 4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
z y
x x
y y
x r
cos
10 6
cos
z
10 6
arccos
Trigonometri:Dwi Purnomo-
27 Jadi koordinat tabung
6 ,
3 4
, 4
adalah
6 ,
6 5
, 8
, dan koordinat bola
6 ,
3 4
, 4
adalah
10 6
cos ,
6 5
, 10
ar
.
5.
8 ,
3 4
, 4
menyatakan letak titik
T
dalam koordinat tabung. Ubah dan nyatakan letak titik
T
dalam koordinat dan koordinat bola. Jawab
Koordinat , koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:
2 2
sin y
x r
atau r
cos
z
cos sin
x
sin sin
y
cos
z
2 2
2
z y
x
sehingga dari titik
8 ,
3 4
, 4
diketahui
8 ,
3 4
, 4
z r
dan diperoleh
3 4
2 3
4 sin
4 sin
3 2
3 4
cos 4
cos
y r
y x
r x
5 4
8 2
3 2
2 2
2
5 5
2 arccos
cos 5
4 8
cos
z
Trigonometri:Dwi Purnomo-
28 Jadi koordinat kartesius
8 ,
3 4
, 4
adalah
8 ,
2 ,
3 2
, dan koordinat bola
8 ,
3 4
, 4
adalah
5 5
2 arccos
, 3
4 ,
5 4
.
1.3 Sistem Koordinat Lainnya
