Trigonometri:Dwi Purnomo-
130
6.1 Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui. Dengan demikian
1 tan
2 sin
x x
adalah persamaan trigonometri, karena
x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya dan sebagaimana telah diketahui bersama bahwa ukuran sudut adalah derajat atau radian
yang keduanya mempunyai hubungan
2 360
radian. Sebaliknya, dalam trigonometri dikenal istilah persamaan triginometri invers.
Jika k
x
cos adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan tersebut
mempunyai selesaian
k k
x
1
cos arccos
. Bentuk-bentuk
persamaan
k x
k x
k x
k x
k x
k x
csc .
sec ,
cot ,
tan ,
cos ,
sin
disebut persamaan
trigonometri sederhana. Selesaian persamaan trigonometri sebagaimana tersebut di atas dapat
diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Pertama, ubahlah persamaan menjadi persamaan sederhana yang terdiri atas satu lebih persamaan, Kedua,
gunakan metode dalam Aljabar untuk menentukan varibel besarnya sudut yang belum diketahui, misalnya dengan pemfaktoran atau cara lainnya. Ketiga, setelah
diperoleh variable yang belum diketahui tersebut, substitusikan ke persamaan semula sebagai pengecekan nilai dalam persamaan.
Jika x adalah sebarang bilangan real yang memenuhi persamaan, maka
persamaan trignometri tersebut dapat ditentukan selesaiannya. Perhatikan beberapa contoh persamaan trigonometri sederhana berikut ini.
Tentukan selesaian persamaan trigonometri: 1
4 1
sin
2
x
Jawab Dengan cara memberikan tanda akar pada kedua bagian diperoleh
Trigonometri:Dwi Purnomo-
131 ,...
6 11
, 6
7 ,
6 5
, 6
2 1
arcsin 2
1 sin
4 1
sin
2
x x
x
Semua nilai sudut tersebut memenuhi persamaan di atas, sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk
Z n
n x
, 6
2 2
cot tan
x x
Jawab Dengan mengganti
x x
tan 1
cot
Maka persamaan
1 tan
1 tan
1 tan
2 tan
2 tan
1 tan
2 cot
tan
2
x x
x x
x x
x x
Sehingga diperoleh
,... ,
4 9
, 4
5 ,
4 1
arctan 1
tan
x x
x
Secara umum selesaian persamaan 2
cot tan
x x
adalah
4
1 4
n n
x
3 2
cos 2
2 sin
3
2
x x
Trigonometri:Dwi Purnomo-
132 Jawab
Karena x
x x
x x
2 2
sin 1
cos ,
cos sin
2 2
sin
maka
sin cos
3 sin
sin 2
cos sin
6 2
sin 2
2 cos
sin 6
2 sin
1 2
cos sin
2 3
2 cos
2 2
sin 3
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Sehingga diperoleh
,... 3
, 2
, ,
arcsin sin
x x
x
Atau
,..... 31
251 ,
34 71
3 arctan
3 tan
tan 3
sin cos
3
x x
x x
x x
Sehingga secara umum selesaian persamaan 2
cos 2
2 sin
3
2
x x
adalah 180
34 71
34 71
, n
n x
atau Z
n n
x
4 1
cos 2
sin
x
x Jawab
x x
x x
cos 2
1 sin
1 cos
2 sin
Dengan mengkuadratkan masing-masing bagian, diperoleh
4 cos
5 cos
cos 4
cos 5
cos 4
cos 4
1 cos
1 cos
4 cos
4 1
sin cos
2 1
sin
2 2
2 2
2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trigonometri:Dwi Purnomo-
133 Sehingga diperoleh
,.. 2
7 ,
2 5
, 2
3 ,
2 arccos
cos
x x
x
Atau
,... 8
148 5
4 arccos
5 4
cos 4
cos 5
x x
x x
Setelah dicek ke dalam persamaan 1
cos 2
sin
x
x yang memenuhi adalah
untuk 8
143 ,
90
x x
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
Z
n n
x atau
Z n
n x
, 2
8 143
, 2
5 x
x x
cos sin
3 sin
Jawab
1 2
sin 2
cos cos
cos 2
sin 2
cos 3
cos 2
3 sin
2 cos
sin 3
sin cos
sin 3
sin
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Sehingga diperoleh
,.. 2
7 ,
2 5
, 2
3 ,
2 arccos
cos
x x
x
Atau
Trigonometri:Dwi Purnomo-
134 ,.....
6 5
, 6
2 2
arcsin 2
2 1
2 sin
1 2
sin 2
x x
x x
Setelah dicek ke dalam persamaan yang memenuhi adalah untuk ,...
2 5
, 2
3 ,
2
x
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
Z
n n
x ,
2 2
6.2 Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus
Kategori