Masalah Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

4. Masalah Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Dalam Fisika, mencari nilai maksimum atau minimum (disebut juga nilai ekstrim) dari suatu fungsi yang menggambarkan dinamika suatu sistem sering kali dibutuhkan untuk mengetahui karakteristik dari sistem tersebut. Misalnya kita ingin mengetahui nilai-nilai tekanan atau temperatur kritis yang terkait dengan nilai maksimum atau minimum energi dalam dari sebuah sistem termodinamika sehingga kita bisa mengetahui fase-fase-nya.

Jika ketika kita mencari titik-titik ekstrim tersebut terdapat kaitan antara variabel- variabel yang terlibat, maka dikatakan sebagai nilai ekstrim dengan kendala (constraint). Sedangkan jika diantara variabel-variabel tersebut tidak terdapat hubungan lain, maka dikatakan sebagai nilai ekstrim tanpa kendala.

4.1. Nilai Ekstrim Tanpa Kendala

4.1.1. Fungsi dengan Satu Variabel Karena turunan dari suatu fungsi pada dasarnya adalah laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabelnya dan juga dapat diartikan sebagai kemiringan dari kurva/permukaan yang ditinjau. Untuk fungsi dengan satu variabel titik-titik dengan nilai ekstrim dari fungsi tersebut dapat dicari melalui kondisi:

Pada titik ini kemiringan dari kurva berubah dari positif menjadi negatif atau dari negatif menjadi positif. Titik-titik ekstrim tersebut dapat berupa maksimum atau minimum.

Misalkan dari persamaan (29) kita mendapatkan titik ekstrim x = x 0 yang dimaksudkan,

maka titik tersebut maksimum atau minimum dapat ditentukan berdasarkan turunan kedua yang dievaluasi pada titik ekstrim tersebut:

2 > 0 , Titik Minimum

(30a)

dx x =x 0

2 < 0 , Titik Maksimum

(30b)

dx x =x 0

Gambar 5

Pada titik maksimum, kemiringan kurva berubah dari positif menjadi negatif dan sebaliknya pada titik minimum berubah dari negatif menjadi positif. Sedangkan jika:

dx x =x

maka titik ekstrim tersebut disebut titik belok. Dicontohkan pada Gambar 5, titik-titik maksimum (titik 1), minimum (titik 2) dan belok (titik 3).

4.1.2 Fungsi dengan Dua Variabel

Tinjau fungsi f ( x , y , z ) = 0 yang dapat dinyatakan dalam ungkapan z = f () x , y

dan mendefinisikan sebuah permukaan dalam ruang tiga dimensi. Titik-titik ekstrim pada permukaan tersebut dapat dicari dengan memecahkan secara simultan kondisi berikut:

= 0 (32a)

= 0 (32b)

Misalkan ( x 0 ,y 0 ) adalah titik ekstrim yang dimaksud, maka untuk menentukan sifatnya

didefinisikan suatu kuantitas yang disebut Hessian dari fungsi tersebut sebagai berikut:

Titik maksimum dan minimum dipenuhi jika:

2 < 0 , S > 0 , Maksimum

(34a)

2 > 0 , S > 0 , Minimum

(34b)

Sedangkan jika: S < 0 (35) maka titik tersebut dinamakan titik sadel (titik yang berada pada suatu permukaan yang

2 mirip pelana kuda) dan 2 ∂ f ∂ x tidak perlu dievaluasi. Jika S = 0 sifat titik tersebut

tidak dapat ditentukan Ilustrasi masing titik diperlihatkan pada Gambar 6(a) untuk titik maksimum, 6(b) titik minimum dan 6(c) untuk titik sadel.

2 2 2 Contoh 4.5. Tentukan titik ekstrim fungsi (i) f ()

x =x − 1 , (ii) f () x , y = x − y ,

df

serta sifatnya. Untuk fungsi pertama

=x 2 = 0 , didapatkan x 0 = 0 . Masukkan nilai

dx

tersebut ke fungsi (i) maka dalam koordinat kartesis titik ekstrimnya berada di ( 0 , − 1 ) .

Selanjutnya, karena

2 = 2 > 0 , maka titik tersebut merupakan titik minimum. Untuk

dx ∂ f

fungsi kedua, titik ekstrimnya dapat dicari melalui hubungan

= 2 x = 0 dan

= − 2 y = 0 , sehingga titik ekstrimnya adalah ( x 0 =y 0 , 0 = 0 ) yang berada di posisi

( 0 , 0 , 0 ) dalam koordinat kartesis. Untuk menentukan sifat titik tersebut kita cari nilai

Hessian S titik tersebut: S = 2 2 −

4.2. Nilai Ekstrim dengan Kendala Suatu fungsi yang titik ekstrimnya tidak hanya ditentukan oleh kondisi dimana turunan pertamanya berharga nol tapi juga oleh kaitan antar variabel dikatakan memiliki nilai ekstrim berkendala.

Misalkan kita memiliki sebuah kawat yang dibengkokkan sedemikian rupa sehingga bentuknya menyerupai kurva dari fungsi

x = 1x − (36) Sebagaimana terlihat pada Gambar 7, dan kita ingin melihat nilai ekstrim dari jarak

2 y () 2 y ()

2 2 r ()

Gambar 7

Jika kita secara naif mencari nilai ekstrim dari persamaan (37), maka berdasarkan kondisi (32) kita dapatkan:

= 0 ⇒ x = 0 (38a)

= 0 ⇒ y = 0 (38b)

Jelas terlihat bahwa titik kritis yang kita peroleh tidak memenuhi persamaan (36) karena y 2

0 ≠ 1 − x 0 . Hal ini disebabkan karena antara x dan y memiliki hubungan lewat fungsi pada persamaan (36) yang kita sebut sebagai fungsi kendala. Untuk memecahkan sistem dengan kendala di atas, ada beberapa cara yang dapat

kita tempuh: pertama dengan menggunakan metode Eliminasi, kedua dengan metode Turunan Implisit dan yang ketiga dengan metode Pengali Lagrange.

4.2.1. Metode Eliminasi Dalam metode ini, pada dasarnya kita hanya mensubstitusikan persamaan (36) ke dalam persamaan (37) dan misalkan 2 R = r maka kita sampai pada persamaan:

R () x = x + () 1 − x = x − 2 x + 1 (39)

Agar lebih memudahkan, kita gunakan bentuk kuadrat dari fungsi r . Persamaan (39) merupakan fungsi satu variabel, yang selanjutnya dapat kita cari nilai ekstrimnya dengan menerapkan kondisi (29):

( 2 x − 1 ) = 0 (40)

dR

dx Persamaan (40) di atas memiliki tiga akar yaitu: x 0 = 0 dan x ± = ± 1 2 . Sedangkan

turunan keduanya:

2 =x 12 − 2 (41)

dx Kini kita tinjau x 0 = 0 dengan dan y 0 = 1 , berdasarkan persamaan (41) diketahui bahwa

2 = − 2 < 0 , sehingga titik tersebut adalah titik maksimum berdasarkan kondisi (30b). dx

Kemudian untuk titik x ± = ± 1 2 dengan y ± = 1 2 , kita dapatkan bahwa

dx

yang menunjukkan kedua titik tersebut adalah titik-titik minimum.

4.2.1. Metode Turunan Implisit

2 2 Tinjau kembali fungsi R = x + y . Turunan totalnya terhadap x adalah:

Dipihak lain, diferensial total fungsi kendala pada persamaan (36) adalah:

dy = − 2 xdx atau

Substitusikan persamaan (36) dan (43) ke dalam persamaan (42) diperoleh:

dR

= 2 x − 4 xy (44)

dx Agar R berada pada titik ekstrim maka dR = 0 , dan dengan mensubstitusikan fungsi y

pada persamaan (36), didapatkan seperti melalui metode eliminasi, titik-titik ekstrimnya

adalah: 0 x 0 = dan x ± = ± 1 2 .

2 Untuk 2 memeriksa maksimum dan minimumnya diperlukan d R dx . Turunkan

persamaan (44) sekali terhadap x menghasilkan:

Dari persamaan (36) dan (43) didapatkan lagi persamaan (41) dan hasil yang sama seperti pada metode eliminasi pun kita dapatkan kembali pula.

4.2.1. Metode Pengali Lagrange Tinjau fungsi kendala pada persamaan (36). Secara umum kita dapat menyatakan fungsi kendala tersebut dalam bentuk:

φ () x , y = c (46)

dengan c adalah sebuah konstan, sehingga diferensiasi totalnya adalah:

d φ = dx + dy = 0 (47)

Selanjutnya, misalkan f () x , y adalah fungsi yang pada nilai ekstrimnya memenuhi:

df = dx + dy = 0 (48)

maka bentuk berikut akan tetap berlaku:

df + λd φ = 0 (49) dengan λ adalah sebuah konstanta. Dari sini kita dapat membentuk fungsi baru:

F ( x , y , λ ) = f () x , y + λφ () x , y (50)

Berdasarkan persamaan (47) dan (48) diperoleh:

df + λ d φ = ⎜ + λ ⎟ dx + ⎜⎜ + λ ⎟⎟ dy = 0 (51)

Dari sistem persamaan tersebut ditambah dengan persamaan (46) untuk fungsi kendala, kita dapat mencari nilai λ sehingga memenuhi:

= 0 (52a)

= 0 (52b)

φ () x , y = c (52c)

Faktor pengali λ disebut juga sebagai faktor pengali Lagrange. Untuk mencari nilai-nilai ekstrim yang dimaksud, maka kita dapat memperolehnya dengan memecahkan

persamaan (46) dan (52) secara bersama-sama guna mendapatkan x, 0 y dan 0 λ.

Kembali pada fungsi kendala (36) yang dituliskan kembali seperti persamaan (46), diperoleh fungsi F terkait:

x + y (53)

dan sistem persamaan yang harus dipecahkan adalah:

= 2 ( 1 + λ ) x = 0 (54a)

= 2 y + λ = 0 (54b)

2 x +y = 1 (54c)

Solusi persamaan (54a) memberikan x 0 = 0 atau λ = − 1 . Dari persamaan (54c) untuk x 0 = 0 menghasilkan y 0 = 1 , yang pada gilirannya dari persamaan (54b) menghasilkan λ = − 2 . Substitusi λ = − 1 , ke persamaan (54b) didapatkan y 0 = 1 2 . Selanjutnya dengan

mensubstitusikan y 0 = 1 2 ke persamaan (54c) diperoleh kembali x ± = ± 1 2 . Sehingga

kita dapatkan pasangan ( x 0 , y 0 , λ ) yang dimaksud adalah ( 0 , 1 , − 2 ) dan ( ± 1 2 , 1 2 , − 1 ) .

Hasil ini persis sama dengan metode eliminasi dan metode turunan implisit yang kita bahas pada pasal sebelum ini. Untuk mengetahui sifat dari titik-titik ekstrim tersebt kembali dapat kita gunakan kondisi turunan total fungsi f terhadap x .

Dari ketiga metode yang kita bahas tadi, masing-masing memiliki keunggulan sendiri-sendiri, tergantung dari sistem dengan kendala yang kita hadapi. Tapi, secara umum metode pengali Lagrange lebih memperlihatkan keunggulan untuk kasus dengan tingkat kerumitan yang relatif tinggi.