Turunan dan Diferensial Parsial Fungsi Banyak Variabel

2. Turunan dan Diferensial Parsial Fungsi Banyak Variabel

2.1. Definisi Turunan Parsial

Misalkan kita memiliki sebuah fungsi A () x , dimana

A merupakan sebuah

besaran turunan yang merupakan fungsi dari besaran pokok x . Laju perubahan A terhadap x didefinisikan sebagai:

Δ A A ( x + Δ x )() − A x

dengan Δ x yang diambil relatif cukup besar. Turunan atau diferensial dari fungsi A () x dA () x

terhadap x yang dituliskan sebagai A ′ () x =

diperoleh jika kita mengambil

dx

Δx → 0 sehingga:

Secara geometri, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2, turunan dari fungsi tersebut di suatu titik merupakan kemiringan garis lurus yang menyinggung titik tersebut.

dA

Di titik x = x 0 pada Gambar 4, kemiringannya diberikan oleh

. Perhatikan,

dx x = x 0

berdasarkan persamaan (2), kita dapat menuliskan: dA = A ′ dx (3)

dA = A ′ dx

dx

Gambar 2

Untuk fungsi dengan variabel banyak, misalkan f = f () x , y , didefinisikan konsep

∂ f turunan parsial,

f terhadap x dengan menganggap ∂ y konstan, dan

, yaitu turunan

yaitu turunan f terhadap y dengan menganggap x konstan. ∂ y

Secara geometri turunan ini menyatakan kemiringan di suatu titik ( x 0 , y 0 ) dari

kurva proyeksi fungsi tersebut pada salah satu bidang proyeksi. Misalkan untuk fungsi

yang diberikan pada Gambar 1, proyeksi fungsi tersebut pada bidang () x, f di titik y = y 0 , dan ( y, f ) di titik x = x 0 masing-masing diberikan pada Gambar 3(a) dan 3(b)

berturut-turut, maka kemiringan garis singgung masing-masing kurva proyeksi tersebut

pada titik ( x 0 , y 0 ) diberikan oleh turunan parsial:

dan

. Perhatikan bahwa

untuk turunan parsial kita tidak menggunakan notasi ” d ”, tetapi menggunakan notasi ” ∂ ” (baca: do) yang menyatakan turunan dari fungsi

f terhadap salah satu variabel dengan menganggap variabel lain konstan.

Selain dari bentuk penulisan turunan parsial seperti yang diberikan di atas, dalam beberapa buku teks kita juga akan menjumpai beberapa bentuk lain semisal:

≡ ∂ x f ≡ f x ≡ D x f (4)

Untuk turunan parsial dengan orde lebih tinggi berlaku:

Contoh 4.1. Jika f = x + 2 xy + y , Tentukan:

( x + 2 xy + y )

(i) =

= 2 x + 2 y , (ii)

() 6 (iii) y

= 12 y .

2.2. Uraian Taylor Fungsi Banyak Variabel Seperti halnya fungsi dengan satu variabel yang dapat diuraikan atas deret pangkat sebagaimana yang telah kita bahas di Bab 1, maka untuk fungsi banyak variabel pun kita dapat melakukan hal yang sama. Kita akan membatasi diri untuk fungsi dengan

dua variabel f = f () x , y . Tinjau uraian fungsi tersebut dalam bentuk deret pangkat

berikut:

f 2 ()

x , y = a 00 + a 01 ( y − b ) + a 02 ( y − b ) + ... + a 10 ( x − a ) +

11 ( x − a )( y − b ) + a 12 ( x − a )( y − b ) (6)

= m ∑∑

a nm ( x − a )( y − b )

Untuk mencari koefisien a nm pada persamaan (6), kita dapat menggunakan cara

yang persis seperti yang dilakukan untuk kasus satu variabel. Pertama kita cari dahulu

untuk koefisien a 00 dan dengan mudah kita peroleh jika kondisi x = a dan y = b

dipenuhi, yang mengakibatkan:

a 00 = f () a , b (7)

Untuk a 01 kita dapat memperolehnya dengan mencari turunan parsial persamaan (6)

terhadap variabel y dan mengevaluasinya kembali pada titik ( x =, a y = b ) :

a 01 =

Sekarang kita cari koefisien a 12 dengan jalan menurunkan parsial terhadap x satu kali dan terhadap y dua kali, sehingga didapatkan:

a 12 =

Koefisien-koefisien yang lain pada prinsipnya dapat dicari dengan cara yang sama. Tanpa harus memasuki detail perhitungan, berikut diberikan ungkapannya dalam bentuk yang kompak:

m f ()

x , y = ∑∑

f ()( x , y x − a )( y − b ) (10)

2.3. Diferensial Total

Misalkan kembali kita memiliki fungsi f = f () x , y , maka diferensial (selisih)

total fungsi tersebut didefinisikan sebagai:

df = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x , y + Δ y )() − f x , y

(11) ∂ f ∂ f

dx +

dy

Ungkapan dx dan dy dalam persamaan (11) berturut-turut merupakan ∂ diferensial x

parsial fungsi f dalam arah x dan y.

D ∂ f dy

D′

df = dx + dy ∂ f

dx ∂ x

B′

C′

Gambar 4

Penjelasan secara geometri makna dari diferensiasi total df pada persamaan (11) dapat dilihat pada Gambar 4. Misalkan titik

A adalah f () x , y , sedangkan titik C adalah

f ( x +, dx y + dy ) dengan dx , dy → 0 , yang keduanya berada pada permukaan yang

dibentuk oleh fungsi tersebut. Garis AB merupakan garis singgung pada kurva proyeksi ∂ f

di bidang () x, f , dan seperti halnya persamaan (3), maka panjang garis B B ′ = dx .

Sementara itu, garis AD merupakan garis singgung pada kurva proyeksi di bidang ( y, f )

∂ f dan panjang garis D D ′ = dy . Dari sini terlihat bahwa bidang ABCD , yang

didalamnya terdapat garis AB dan AD , tidak lain adalah bidang datar yang menyinggung titik A . Dipihak lain, karena titik A dan C′ berada pada bidang A B ′ C ′ D ′

yang paralel dengan bidang () x, y , maka panjang garis C C ′ = df merupakan diferensiasi

total dari fungsi yang dimaksud, dan dari Gambar 4 diketahui bahwa C C ′ = B B ′ + D D ′

∂ f ∂ f atau dengan kata lain df = dx + dy .

Secara umum, untuk fungsi dengan n − buah variabel, f = f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) , maka

diferensiasi total fungsi tersebut diberikan oleh:

df =

dx n ∂ (12)

Contoh y 4.2. Jika f = e + sin ()

xy , tentukan df . Sebelumnya mencari diferensial total dari fungsi f tersebut, kita cari terlebih daulu turunan parsial terhadap variabel x

dan y . = y sin xy dan = e + x sin xy , sehingga dengan demikian diperoleh: ∂ x

df = dx + dy = ( y sin xy ) dx + ( e + x sin xy ) dy .