Aturan Rantai dan Turunan Implisit

3. Aturan Rantai dan Turunan Implisit

Dalam beberapa kasus, kita akan menjumpai bahwa variabel suatu fungsi yang merepresentasikan suatu sistem merupakan fungsi dari variabel lainnya, atau kita juga menemui kasus dimana suatu fungsi tidak dinyatakan secara eksplisit, sehingga dengan Dalam beberapa kasus, kita akan menjumpai bahwa variabel suatu fungsi yang merepresentasikan suatu sistem merupakan fungsi dari variabel lainnya, atau kita juga menemui kasus dimana suatu fungsi tidak dinyatakan secara eksplisit, sehingga dengan

3.1. Aturan Rantai Misalkan terdapat suatu fungsi dimana variabelnya merupakan fungsi dari variabel lainnya. Tinjau fungsi:

f = f () u , u = u () h , h = h () x (13)

df

dan kita diminta untuk mencari turunan f terhadap x ,

dx Pertama kita cari diferensial total dari fungsi-fungsi f , u dan h : ∂ f

df = du (14a) ∂ u

∂ u du = dh (14b)

dh = dx (14c) ∂ x

Gabungkan ketiga persamaan (14) diatas diperoleh:

df =

dx (15)

Bagi kedua ruas pada persamaan (15) dengan dx diperoleh:

yang merupakan turunan f terhadap x . Cara memperoleh turunan dari suatu fungsi yang variabelnya merupakan fungsi variabel lain ini dinamakan aturan rantai.

Selanjutnya kita tinjau kembali fungsi semacam persamaan (13), tetapi dengan:

f = f () u , w , u = u () x , y , w = w () x , y (17)

maka diferensial total fungsi f, u dan w adalah:

df = du + dw (18a)

du = dx + dy (18b)

dw =

dx + dy (18c)

Dengan mensubstitusikan persamaan (18b) dan persamaan (18c) ke dalam persamaan (18a) diperoleh:

Perlu dicatat bahwa persamaan (18a) merupakan diferensial total f terhadap u dan w , sedangkan persamaan (19) merupakan diferensial total f terhadap x dan y .

Contoh 4.3. Misalkan f = xy , x = cos ( s + t ) dan y = sin ( s − t ) . Tentukan

dan

. Berdasarkan persamaan (18): df =

Turunan-turunan parsial yang diperlukan: f= y ,

f= x ,

= − sin ( s + t ) ,

= − sin ( s + t ) , = cos ( s − t ) dan = − cos ( s − t ) . Untuk mencari turunan parsial f

terhadap s , berlaku dt = 0 , sehingga

= x cos ( s − t ) − y sin ( s + t ) .,

∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s Sedangkan untuk mencari turunan parsial fungsi f terhadap variabel t diambil ds = 0

= − x cos ( s − t ) − y sin ( s + t ) .

(mangapa?), sehingga

3.2. Turunan Implisit Perhatikan persamaan di bawah ini:

y e + sin x = 1 (20) dy

Untuk mencari ungkapan

, langkah konvensional yang harus kita tempuh adalah

dx

menjadikan persamaan tersebut berbentuk:

y = ln ( 1 − sin x ) (21)

Kemudian baru kita cari turunannya dengan menggunakan aturan rantai (16), kita dapatkan hasil sebagai berikut: Kemudian baru kita cari turunannya dengan menggunakan aturan rantai (16), kita dapatkan hasil sebagai berikut:

= dx ⎜⎜

⎝ d ( 1 − sin x ) ⎟⎟ ⎠ ⎝ d sin x ⎠ ⎝ dx ⎠

⎟ ( )( − 1 cos x )

⎝ 1 − sin x ⎠ = cos sin x − 1

Kini bandingkan dengan cara berikut. Pertama kita cari diferensial total dari masing-masing fungsi yang terlibat di dalam persamaan tersebut:

de =

dy = e dy (23)

dan

∂ sin x )

d ( sin x )( =

dx = cos xdx (24)

sehingga diferensiasi total persamaan (19) menjadi:

() e + d ( sin x ) = e dy + cos xdx = 0 (25)

Ruas kanannya menjadi nol karena d () 1 = 0 . Selanjutnya dari persamaan (24) diperoleh:

Sementara dari persamaan (20) kita peroleh y e = 1 − sin x , sehingga akhirnya didapatkan:

Sama seperti yang diperoleh dengan cara konvensional. Cara mencari turunan yang baru saja kita bahas ini dinamakan cara turunan

implisit. Secar umum jika kita memiliki fungsi f () x , y = c , dimana c adalah sebuah

kontanta, dengan diferensial totalnya diberikan oleh:

df = dx + dy = 0 (27)

Maka untuk mencari turunan y terhadap x dapat dilakukan melalui hubungan berikut:

dy

dx

Pada contoh persamaan (20), kita kebetulan bertemu dengan persamaan implisit

f () x , y = c yang dapat diubah menjadi bentuk persamaan eksplisit y = g () x . Turunan

implisit ini akan menjadi penting, manakala kita berhadapan dengan persamaan implisit yang tidak dapat diubah menjadi persamaan eksplisit.

Contoh 4.4. Misalkan y + e = 2 x , tentukan

dy d y

. Tinjau diferensial total

dx

dx 2

persamaan tersebut: ( 2 y + e ) dy = 2 dx , sehingga diperoleh: (i) =

dy

y atau (ii) 2 y + e

dx

( 2 y + e ) − 2 = 0 . Untuk turunan kedua y terhadap x , turunkan persamaan (ii)

dy

dx

dy d ( 2 y + e

2 d y ⎡ dy

+ e ) − 2 = 0 , sehingga

terhadap x yaitu:

2 ( 2 y + e ) + 2 ⎜ ⎟ + e ⎜ ⎟ = 0 . Dengan mensubstitusikan persamaan (i)

= 0 dan sebagai hasil akhir dx

didapatkan: 2 = −

dx