Konsekuensi Teorema Cauchy

2.4 Konsekuensi Teorema Cauchy

2.4.1 Prinsip Deformasi Kontur

Ter konsekuensi praktis langsung dari teorema integral Cauchy. Kontur integral kom- pleks bisa dideformasi sebarang melalui daerah analitik tanpa mengubah nilai integral.

Perhatikan integrasi melalui dua buah kontur tampak di sisi kiri Gambar 2.10. Jika f (z) analitik maka

f (z)dz = 0,

I abcda

f (z)dz = 0.

ef ghe

Secara alami jumlahnya juga nol

f (z)dz +

f (z)dz = 0.

abcda

ef ghe

2. Fungsi Kompleks

Gambar 2.10: Deformasi kontur.

Perhatikan integral melalui ab dan he arahnya berlawanan. Jika ab berhimpit he, kontribusinya akan saling menghilangkan. Jadi jika jarak ab dan he, dan antara cd dan f g mendekati nol, jumlah integralnya menjadi jumlah integral sepanjang kontur

luar C 1 dan integral sepanjang kontur dalam C 2 tetapi dalam arah berlawanan. Jika kita rubah arah C 2 , kita harus mengubah tanda integral. Jadi

f (z)dz +

f (z)dz =

f (z)dz +

f (z)dz = 0.

f (z)dz =

f (z)dz,

di sini kita telah membuktikan bahwa integral garis sebuah fungsi analitik melalui kurva tertutup sebarang C 1 sama dengan integral garis fungsi yang sama melalui kurva tertutup lain C 2 sehingga C 1 bisa terdeformasi kontinu sepanjang f (z) analitik

antara C 1 dan C 2 dan nilainya tunggal pada C 1 dan C 2 .

2.4.2 Rumus Integral Cauchy

Rumus integral Cauchy merupakan ekstensi alami dari teorema integral Cauchy. Per- hatikan integral

dengan f (z) analitik di setiap tempat dalam bidang−z, dan C 1 merupakan kontur tertutup yang tidak mengandung titik z 0 seperti Gambar 2.11. (a).

Karena (z − z 0 ) −1 anlitik di setiap tempat kecuali pada z = z 0 , dan z 0 di luar C 1 , jadi f (z)/(z − z 0 ) anlitik di dalam C 1 . Dari teorema integral Cauchy

I f (z)

dz = 0.

C 1 z−z 0

2.4. Konsekuensi Teorema Cauchy

Gambar 2.11: Kontur integrasi tertutup. (a) Titik singular z 0 di luar kontur C 1 . (b) Kontur C 2

melingkupi z 0 ,C 2 bisa dideformasi menjadi sebuah lingkaran C 0 tanpa mengubah nilai integral.

Perhatikan integral kedua

mirip dengan yang pertama, kecuali kontur C 2 melingkupi z 0 , seperti Gambar 2.11. (b). Integran pada integral ini tidak analitik pada z = z 0 yang berada di dalam C 2 , jadi kita tidak bisa menggunakan teorema integral Cauchy untuk mengatakan I 2 = 0. Tetapi, integrannya analitik di setiap tempat kecuali pada titik z = z 0 , jadi kita bisa mendeformasi kontur menjadi sebuah lingkaran infinitesimal berjari-jari ε berpusat pada z 0 tanpa mengubah nilainya

Deformasinya juga ditunjukkan Gambar 2.11. (b). Integral ini bisa dihitung. Untuk melihatnya lebih jelas, kita memperbesar kontur

dalam Gambar 2.12. Karena z berada pada lingkaran C 0 , dengan notasi ditunjukkan Gambar 2.12,

jelaslah bahwa

z = (x 0 + iy 0 ) + ε(cos θ + i sin θ).

z 0 =x 0 + iy 0 ,

e iθ = cos θ + i sin θ,

2. Fungsi Kompleks

Gambar 2.12: Kontur lingkaran untuk rumus integral Cauchy.

kita bisa menuliskan

(2.28) Pada C 0 , ε konstan dan θ dari 0 sampai 2π. Jadi

f (z 0 + εe iθ ) dθ. (2.30)

C 0 z−z 0 0 εe

iθ

f (z + εe Ketika ε → 0, iθ 0 ) → f(z 0 ) dan bisa diambil di luar integral

dθ = 2πif (z 0 ), (2.31)

dengan C lintasan tertutup berlawanan arah jarum jam yang melingkupi z 0 , dan

f (z) analitik di dalam C. hasil ini dikenal sebagai rumus integral Cauchy, biasanya dituliskan sebagai

2.4.3 Turunan Fungsi Analitik

Jika kita menurrunkan dua ruas rumus integral Cauchy, menukar urutan turunan dan integral, kita peroleh

1 d 1 1 f (z)

f (z 0 )

f (z)

dz =

2 2πi dz. C dz 0 (z − z 0 ) 2πi C (z − z 0 )

2.4. Konsekuensi Teorema Cauchy

Untuk memperoleh rumus ini dengan lebih baik, kita bisa mulai dengan rumus formal turunan

2πi C z−z 0 Sekarang

∆z 0 f (z)dz =

f (Z) dz = ∆z 0 .

C (z − z 0 − ∆z 0 )(z − z 0 ) Jadi

C (z − z 0 − ∆z 0 )(z − z 0 )

1 ∆z 0 f (Z)dz

1 I f (z)dz

dz.

(z − z 0 ) 2 Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa

dan secara umum

Jadi kita telah memperoleh fakta bahwa fungsi analitik memiliki turunan untuk semua orde. Semua turunan fungsi analitik juga analitik. Hal ini agak berbeda dengan pengalaman kita pada variabel riil, ketika kita mempunyai sebuah fungsi yang turunan pertama dan keduanya ada, tetapi turunan ketiganya tidak terdefinisi.

Rumus integral Cauchy mengijinkan kita untuk menentukan nilai fungsi analitik pada titik interior z sebarang pada daerah yang terhubung sederhana dengan meng- integrasikan pada kurva C yang mengelilingi daerah tersebut. Nilai pada batas saja yang digunakan. Jadi, kita perhatikan jika sebuah fungsi analitik ditentukan pada semya batas daerah yang terhubung sederhana, fungsi dan semua turunannya bisa ditentukan pada semua daerah interiornya. Rumus integral Cauchy bisa dituliskan dalam bentuk

dengan z merupakan titik interior sebarang di dalam C. Variabel kompleks ζ pada

C dan berupa variabel dummy integrasi yang hilang dalam proses integrasi. Rumus integral Cauchy dalam bentuk ini biasanya digunakan.

2. Fungsi Kompleks

Contoh 2.3.1. Hitunglah integral

mengelilingi lingkaran |z| = 1. Solusi 2.3.1. (a) Titik singular z = 1 2 berada di dalam lingkaran |z| = 1. Jadi

I z 2 2 sin πz

2 1 1 dz = 2πi[z 1 sin πz]

1/2 = 2πi

sin π = πi. z− 1 2 2 2 2

(b) Titik singular z = 0 di dalam lingkaran |z| = 1. Jadi

I cos z

2πi d 2

2 z = πi[− cos(0)] = −πi. 2! dz

3 dz =

z=0

Contoh 2.3.2. Hitunglah integral

mengelilingi (a) lingkaran |z| = 1, (b) lingkaran |z| = 3. Solusi 2.3.2. (a) Titik singular z = 2. Titik ini di luar |z| = 1, seperti Gambar 2.13

z (a). Di dalam lingkaran |z| = 1, fungsi 2 −1

(z−2) 2 analitik, jadi

(b) Karena z = 2 di dalam lingkaran |z| = 3, seperti ditunjukkan Gambar 2.13 (b),

Gambar 2.13: (a) |z| = 1, (b) |z| = 3.

2.4. Konsekuensi Teorema Cauchy

kita bisa menuliskan integralnya sebagai

dz = 2πif ′ (2) dengan

f (z) = z 2 − 1, f ′ (z) = 2z, and f ′ (2) = 4. Jadi

−1 (z − 2) 2

dz = 2πi4 = 8πi.

Contoh 2.3.3. Hitunglah integral

(a) mengelilingi lingkaran |z − 1| = 1, (b) mengelilingi lingkaran |z − i| = 1, (c) mengelilingi lingkaran |z − 1| = 2. Solusi 2.3.3. Bukan hanya hubungan antara titik singular dan kontur yang jelas dari contoh sebelumnya, untuk menyelesaikan persoalan integrasi kontur tertutup, paling baik yang dilakukan pertama kali adalah mencari titik singular (yang dikenal sebagai kutub) dan menunjukkannya dalam bidang kompleks dan menggambar konturnya. Dalam kasus khusus ini, titik singulatnya adalah pada z = ±i, yang merupakan solusi

dari z 2 + 1 = 0. Tiga buah konturnya ditunjukkan Gambar 2.14. (a) Terlihat bahwa

Gambar 2.14: (a) |z − 1| = 1, (b) |z − i| = 1, (c) |z − 1| = 2.

kedua titik singular di luar kontur |z1| = 1, jadi

I z 2 dz = 0.

(z − 2) 2

(b) dalam kasus ini, hanya titik singular z = i di dalam kontur, jadi kita bisa menu- liskan

(z − i)(z + i)

z−i

2. Fungsi Kompleks

dz = 2πif (i)2πi

z−i

i−i

(c) Dalam kasus ini kedua titik singular di dalam kontur. Untuk menggunakan rumus integral Cauchy, pertama kita ambil pecahan parsial dari 1 z 2 +1

z +1

(z − i)(z + i)

(z − i)(z + i) Jadi

(z − i)(z + i)

Masing-masing integral pada ruas kanan hanya memiliki sebuah titik singular di dalam kontur. Menurut rumus integral Cauchy

I z 2 dz = 2πi(i) 2 = −2πi,

z−i

z+i dz = 2πi(−i) = −2πi.

Jadi

dz = − (−2πi) + (−2πi) = 0.

Contoh 2.3.4. Hitunglah integral

z−1

dz

2z 2 + 3z − 2

2.4. Konsekuensi Teorema Cauchy

mengelilingi persegi yang titik-titik sudutnya (1, 1), (−1, 1), (−1, −1), (1, −1). Solusi 2.3.4. Untuk mencari titik singular, kita ambil penyebutnya sama dengan nol

2z 2 + 3z − 2 = 0

sehingga titik singularnya pada

Penyebutnya bisa dituliskan sebagai

2z 2 + 3z − 2 = 2 1 z− (z + 2).

Titik singular dan konturnya ditunjukkan gambar berikut:

Karena hanya titik singular pada z = 1 2 di dalam kontur, kita bisa menuliskan inte- gralnya sebagai

1 + 3z − 2 dz = 2πif

Berbagai teorema penting bisa dengan mudah dibuktikan dengan rumus integral Cauchy dan turunannya.

2. Fungsi Kompleks

Teorema Nilai Rata-rata Gauss Jika f (z) analitik di dalam dan pada sebuah lingkaran C berpusat pada z 0 , maka nilai

rata-rata f (z) pada C adalah f (z0). Teorema ini mengikuti langsung rumus integral Cauchy

Misalkan lingkaran C adalah |z − z 0 | = r, jadi

yang merupakan nilai rata-rata f (z) pada C.

Teorema Liouville Jika f (z) analitik pada keseluruhan bidang kompleks dan |f(z)| terbatas untuk semua

nilai z, maka f (z) konstan. Untuk membuktikan teorema ini, kita mulai dengan

Syarat agar |f(z)| terbatas mengatakan kepada kita sebuah konstanta tak negatif M ada sehingga |f(z)| ≤ M untuk semua z. Jika kita mengambil C sebagai lingkaran |z ′ − z| = R, maka

1 I |f(z ′ )|

|f ′ (z)| ≤

karena f (z ′ ) analitik di semua tempat, kita bisa mengambil R sebesar mungkin. Jelas- lah bahwa M R → 0, ketika R → ∞. Jadi |f ′ (z)| = 0, yang mengimplikasikan f ′ (z) = 0 untuk semua z, sehingga f (z) konstan.

2.5. Latihan 101

Teorema Aljabar Fundamental Teorema berikut dikenal sebagai teorema aljabar fundamental. Dalam bab terakhir

kita telah mengatakan bahwa teorema ini sangat penting dalam sistem bilangan kita. Setiap persamaan polinomial

P n (z) = a 0 +a 1 z+···+a n z n =0

berderajat satu atau lebih besar memiliki paling tidak satu buah akar. Untuk membuktikan teorema ini, marilah pertama kita mengasumsikan kebalikan-

nya, katakanlah P n (z) 6= 0 untuk sebarang z. Maka fungsi

f (z) = P n (z)

analitik di setiap tempat. Karena f (z) tidak akan bernilai tak hingga dan f (z) → 0 ketika z → ∞, jadi |f(z)| terbatas untuk semua z. Dengan teorema Liouville kita menyimpulkan bahwa f (z) haruslah berupa konstanta dan P n (z) harus konstan. Ini merupakan sebuah kontradiksi, karena P n (z) merupakan sebuah polinomial dari z. Jadi, P n (z) = 0, paling tidak harus memiliki sebuah akar.

Dari teorema ini P n (z) tepat memiliki n akar. Karena P n (z) paling tidak memiliki

satu akar, katakanlah z 1 . Jadi P n (z) = (z − z 1 )Q n−1 (z)

dengan Q n−1 (z) merupakan polinomial berderajat n−1. Dengan argumen yang sama, kita menyimpulkan bahwa Q n−1 (z) paling tidak harus memiliki satu buah akar, yang

kita nyatakan dengan z 2 . Dengan mengulangi prosedur n kali kita peroleh P n (z) = (z − z 1 )(z − z 2 ) · · · (z − z n )=0 Jadi P n (z) = 0 tepat memiliki n buah akar.