Fungsi sebuah Matriks
6.7 Fungsi sebuah Matriks
6.7.1 Fungsi Polinomial sebuah Matriks
Matriks persegi sebarang A bisa dikalikan dengan dirinya sendiri. Hukum asosiatif dari perkalian matriks menjamin perkalian A dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, yang dinyatakan dengan A n , merupakan operasi tak ambigu. Maka
A m A n =A m+n .
6. Nilai Eigen Matriks
Selanjutnya kita telah mendefinisikan invers sebuah matriks tak singular A −1 yaitu AA −1 =A −1
A = I. Sehingga secara alami kita bisa mendefinisikan
A 0 =A 1−1 = AA −1 = I, dan A −n =A −1 n . Dengan definisi ini, kita bisa mendefinisikan fungsi polinomial dari matriks persegi
melalui cara yang persis sama dengan polinomial skalar.
2 Sebagai contoh, jika f (x) = x 11 + 5x + 4 dan A = , kita mendefinsikan f (A)
23 01 18 30 Menarik untuk memperhatikan bahwa f (A) bisa dihitung dengan menggunakan
suku yang difaktorkan dari f (x). Sebagai contoh
f (x) = x 2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4),
sehingga
f (A) = (A + I)(A + 4I)
Contoh 6.7.1. Carilah f (A) jika
6 2 1 Perhatikan bahwa f (A) juga bisa dihitung dengan pecahan parsial. Karena
A −1
f (x) = 2 =
x −1
2 x−1
2 x+1
6.7. Fungsi sebuah Matriks 303
6.7.2 Evaluasi Fungsi Matriks dengan Pendiagonalan
Ketika terdapat matriks persegi A mirip dengan matriks diagonal, penghitungan f (A) bisa lebih disederhanakan.
Jika A terdiagonalkan maka
S −1 AS = D,
dengan D adalah matriks diagonal. Maka:
Jika f (A) merupakan sebuah polinomial, maka:
f (A) = Sf (D)S −1 .
Selanjutnya karena D adalah matriks diagonal, maka elemennya adalah nilai eigen dari A
λ k 1 0 ···
0 λ k 2 ···
0 0 ··· λ k n
f (λ 1 )
0 ··· 0 f (λ 2 ) ···
f (D) =
f (λ n )
Sehingga
f (λ 1 )
0 f (λ 2 ) ···
f (A) = S S −1
f (λ n )
6. Nilai Eigen Matriks
Contoh 6.7.2. Carilah f (A) jika
Solusi 6.7.2. Pertama, kita cari nilai eigen dari A,
1 3−λ Vektor eigen untuk λ 1 = 1 dan λ 2 = 2 berturut-turut adalah
f (A) = Sf (D)S −1
f (1) = −1, f(2) = 3,
f (A) = Sf (D)S
Contoh 6.7.3. Carilah matriks A sehingga
A 2 − 4A + 4I = 43 .
Solusi 6.7.3. Pertama, marilah kita diagonalkan ruas kanan
5 6−λ Vektor eigen untuk λ 1 = 1 dan λ 2 = 9 berturut-turut adalah
6.7. Fungsi sebuah Matriks 305
(A 2 − 4A + 4I)S = S −1
S=
56 09 Ruas kiri persamaan juga harus diagonal, karena ruas kanan berupa matriks diago-
nal. Karena kita telah menunjukkan sepanjang S −1 AS diagonal, maka S −1 A k S akan diagonal. Kita bisa mengasumsikan
S −1 AS =
Dari sini kita bisa memperoleh
S −1
10 (A 2 − 4A + 4I)S = 1 = ,
x − 4x 1 +4
09 yang memberikan
0 x 2 2 − 4x 2 +4
x 2 1 − 4x 1 +4=1 x 2 2 − 4x 2 + 4 = 9.
Dari persamaan pertama kita mempunyai x 1 = 1, 3, dan dari persamaan kedua kita ! x 1 0
memperoleh x 2 = 5, −1. Sehingga terdapat empat buah kombinasi untuk
0 x 2 yaitu !
05 0 −1 Sehingga persamaan asalnya memiliki empat buah solusi
05 8 1 1 2 57 dan dengan cara yang sama
6. Nilai Eigen Matriks
Untuk tiap fungsi skalar yang bisa dinyatakan dalam deret tak hingga, sebuah fungsi matriks yang berhubungan bisa didefinisikan. Sebagai contoh, dengan
=1+x+ x 2 + 1 x 3
A 1 2 e 1 =I+A+ A + A 3 +···.
Jika A terdiagonalkan, maka
S −1 AS = D, A n = SD n S −1 ,
e A =S 1 I+D+ D 2 + 1 D 3 +··· S −1 ,
Sehingga kita bisa memperoleh
0 0 ··· 1+λ n + 1 λ 2 2 n +···
Contoh 6.7.4. Hitunglah e A , jika !
Solusi 6.7.4. Karena A simetrik maka terdiagonalkan.
yang memberikan λ = 6, −4. Vektor eigennya adalah
6.7. Fungsi sebuah Matriks 307
6.7.3 Teorema Cayley-Hamilton
Teorem Cayley-Hamilton yang terkenal menyatakan bahwa setiap matriks persegi me- menuhi persamaan karakteristiknya sendiri.
Hal ini berarti, jika P (λ) adalah polinomial karakteristik dari matriks A orde ke−n, maka P (λ) = |A − λI| = c n λ n +c n−1 λ n−1 +···+c 0 ,
sehingga P (A) = c n A n +c n−1 A n−1 +···+c 0 I = 0.
Untuk membuktikan teorema ini, misalkan x i adalah vektor eigen untuk λ i . Se- hingga
P (λ i ) = 0, Ax i =λ i x i .
Sekarang P (A)x
i =c n A +c n−1 A n−1 +···+c 0 I x i =c n λ n i +c n−1 λ n−1 i +···+c 0 x i
= P (λ i )x i = 0x i .
Karena ini berlaku untuk semua vektor eigen dari A, P (A) haruslah matriks nol. Sebagai contoh, jika
12 A=
P (λ) =
P (A) =
6. Nilai Eigen Matriks
Invers dengan Teorema Cayley-Hamilton Teorema Cayley-Hamilton bisa digunakan untuk mencari invers dari matriks persegi.
Kita mulai dari persamaan karakteristik dari A P (λ) = |A − λI| = c n λ n +c n−1 λ n−1 +···+c 1 λ+c 0 , kita memiliki
P (A) = c n A n +c n−1 A n−1 +···+c 1 A+c 0 I = 0. Mengalikan persamaan dari kiri dengan A −1 , kita peroleh
A −1 P (A) = c n A n−1 +c n−1 A n−2 +···+c 1 I+c 0 A −1 = 0. Sehingga
A −1 =−
c n−1 A +···+c 1 I 0 .
c n A n−1 +c
n−2
Contoh 6.7.5. Carilah A −1 dengan teorema Cayley-Hamilton jika
A=
Solusi 6.7.5.
P (λ) = 2 0 4−λ 3 −1 = 6 − 11λ + 6λ −λ ,
kemudian
2 P (A) = 6I − 11A + 6A 3 −A ,
A −1 P (A) = 6A −1
− 11I + 6A − A 2 = 0,
A −1 =
6 − 6A + 11I
A −1 = 0 4 −1 04 −1
6.7. Fungsi sebuah Matriks 309
Dapat dengan mudah diverifikasi bahwa
Matriks dengan Pangkat yang Tinggi Salah satu aplikasi penting dari teorema Cayley-Hamilton adalah dalam representasi
matriks dengan pangkat yang derajatnya tinggi. Dari persamaan P (A) = 0, kita mempunyai
(6.39) Kalikan dengan A
c n n−1 A +c n−2 A +···+c 1 A+c 0 I .
A n+1
c n−1 A n +c n−2 A n−1 +···+c 1 A 2 +c 0 A , (6.40)
dan menggantikan A n dari (6.39) ke (6.40), kita mempunyai
A +···+ n−1 − + I. (6.41)
c 2 n Jelas bahwa proses ini bisa dilanjutkan. Sehingga sebarang pangkat bilangan bulat
dari sebuah matriks berorde n bisa direduksi menjadi polinomial dari matriks, dengan derajat pangkat paling tinggi adalah n − 1. Sehingga kita bisa memperoleh pangkat
yang tinggi dari A.
Contoh 6.7.6. Carilah A 100 , jika
Solusi 6.7.6. Karena 1−λ
nilai eigen dari A adalah λ 1 = 4 dan λ 2 = −2. Nilai eigen dari A 100 haruslah λ 100 1 dan λ 100 2 , yaitu
A 100 x 1 =λ 100 1 x 1 , A 100 x 2 =λ 100 2 x 2 .
6. Nilai Eigen Matriks
Di lain pihak, dari teorema Cayley-Hamilton, kita tahu bahwa A 100 bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari A dan I karena A adalah matriks dengan orde 2 (n = 2).
A 100 = αA + βI,
dan
A 100 x 1 = (αA + βI)x 1 = (αλ 1 + β)x 1 ,
A 100 x 2 = (αA + βI)x 2 = (αλ 2 + β)x 2 .
Sehingga
Dari sini