Beberapa Terminologi

6.2 Beberapa Terminologi

Telah kita lihat untuk matriks persegi n × n, nilai eigennya bisa berupa bilangan riil maupun imajiner. Jika nilai eigennya berdegenerasi, kita bisa memiliki atau tidak sejumlah n vektor eigen yang berbeda.

6. Nilai Eigen Matriks

Bagaimanapun, terdapat jenis matriks yang disebut sebagai matriks hermitian, nilai eigennya selalu riil. Sebuah matriks hermitian n × n akan selalu memiliki n buah vektor eigen yang berbeda.

Untuk memfasilitasi pembahasan kita tentang matriks ini dan juga sifat-sifatnya. Pertama marilah kita perkenalkan beberapa terminologi berikut.

6.2.1 Konjugasi Hermitian

Konjugasi Kompleks Jika A = (a ij ) m×n merupakan sebuah matriks sebarang, yang elemennya bisa berupa

bilangan kompleks, konjugasi kompleks matriks tersebut dinotasikan dengan A ∗ juga berupa sebuah matriks dengan orde m × n dengan tiap elemennya adalah kompleks

konjugat dari elemen pada matriks A dalam artian

(A ∗ ) ij =a ∗ ij .

Jelaslah bahwa

(cA) ∗ =c ∗ A ∗ .

Konjugasi Hermitian Ketika dua buah operasi dari konjugasi kompleks dan transpos dikerjakan berurut-

an satu dengan yang lainnya pada sebuah matriks, hasil matriksnya disebut sebagai konjugasi hermitian dari matriks asalnya dan dinotasikan sebagai A † , dinamakan A dagger. Orang matematik menyebut A † sebagai matriks adjoin. Urutan operasi tidak penting dalam artian

(6.6) Sebagai contoh, jika

A † = (A ∗ ) T =(˜ A) ∗ .

! (6 + i) (1 − 6i) 1

A=

(3 + i)

4 3i

maka

(6 − i) (3 − i)

A = (A ) T = =  (1 + 6i)

(6 − i) (1 + 6i)

(3 − i)

4 −3i

1 −3i 

(6 + i) (3 + i)

(6 − i) (3 − i)

A † =(˜ A) ∗ =   (1 − 6i)

4   =   (1 + 6i)

1 3i

1 −3i

6.2. Beberapa Terminologi 267

Konjugasi Hermitian dari Perkalian Matriks Seperti yang telah dipelajari sebelumnya bahwa transpos dari hasil kali dua matriks

adalah sama dengan perkalian dua buah transpos matriks dengan urutan yang dibalik. Dari sini kita bisa memperoleh

(AB) † =B † A † ,

karena

(AB) † = (A ∗ B ∗ ) T =˜ B ∗ A ˜ ∗ =B † A † .

6.2.2 Ortogonalitas

Inner Product

Jika a dan b merupakan vektor kolom dengan orde yang sama n, inner product atau perkalian skalar didefinisikan a †

b. Konjugasi hermitian sebuah vektor kolom adalah vektor baris

a =     = (a ∗ ∗

1 a 2 ···a ∗ n

sehingga hasil inner product adalah sebuah bilangan

∗  b 2  a X b = (a 1 a 2 ···a n )  

 k=1

Terbisa dua buah lagi notasi yang biasa digunakan untuk inner product. Notasi yang paling sering digunakan dalam mekanika kuantum adalah notasi bracket yang diperkenalkan Dirac. Vektor baris dinyatakan sebagai bra, sedangkan vektor kolom dinyatakan sebagi ket. Kita bisa menuliskan vektor kolom sebagai

b = |bi,

sebagai vektor ket dan vektor baris

a † = ha|

sebagai vektor bra. Inner product dari dua vektor ini biasanya dinyatakan sebagai

ha|bi = a † b.

6. Nilai Eigen Matriks

Perhatikan untuk sebarang skalar, c,

ha|cbi = cha|bi,

sedangkan

hca|bi = c ∗ ha|bi.

Notasi lain yang digunakan adalah tanda kurung:

(a, b) = a † b = ha|bi.

Jika A adalah sebuah matriks

(a, Ab) = A †

a, b

merupakan sebuah identitas, karena

A † a, b =A a b=a † A † † b=a † Ab = (a, Ab) .

Sehingga jika

(a, Ab) = (Aa, b) ,

maka A hermitian. Orang matematika menyebut hubungan A † = A sebagai self- adjoint .

Ortogonalitas Dua buah vektor a dan b dikatakan ortogonal jika dan hanya jika

a † b = 0.

Perhatikan bahwa dalam ruang riil 3 dimensi

hanyalah perkalian dot (titik) dari a dan b. Dalam analisis vektor, jika perkalian dot dari dua buah vektor sama dengan nol, maka dua vektor tersebut tegak lurus.

Panjang sebuah Vektor Kompleks Jika kita mengadopsi definisi ini untuk perkalian skalar dua buah vektor kompleks,

maka kita mempunyai definisi alami panjang sebuah vektor kompleks dalam ruang berdimensi−n. Panjang sebuah vektor kompleks kxk dari sebuah vektor x adalah

kxk =x †

x=

|a k | .

k=1

k=1

6.2. Beberapa Terminologi 269

6.2.3 Proses Gram-Schmidt

Bebas Linier Himpunan vektor x 1 ,x 2 ,...,x n dikatakan bebas linier jika dan hanya jika

a i x i = 0,

i=1

yang mengimplikasikan a i = 0. Jika tidak maka himpunan tersebut saling bergantung linier.

Pertama marilah kita uji tiga buah vektor

x 1 =  0   , x 2 =   1  , x 3 =    0 ,

untuk bebas linier. Pertanyaannya apakah kita bisa mencari himpunan a i yang tidak nol semua sehingga

1 0 0 a 1 0 Jelas ini mensyaratkan a 1 = 0, a 2 = 0 dan a 3 = 0. Sehingga tiga buah vektor ini

bebas linier. Perhatikan bahwa bebas atau bergantung linier adalah sifat dari semua anggota,

bukan hanya masing-masing vektor. Jelas jika x 1 ,x 2 ,x 3 merepresentasikan vektor tiga dimensi yang noncoplannar (tak

sebidang), maka vektor tersebut bebas linier.

Proses Gram-Schmidt Diberikan sejumlah n vektor bebas linier, kita bisa membangun dari kombinasi linier-

nya sebuah himpunan dari n buah vektor satuan yang saling ortogonal. Misalkan vektor yang bebas linier x 1 ,x 2 ,...,x n . Definisikan

kx 1 k

sebagai vektor satuan pertama. Sekarang definisikan

u ′ 2 =x 2 − (x 2 ,u 1 )u 1 .

6. Nilai Eigen Matriks

Perkalian skalar u ′ 2 dan u 1 sama dengan nol

(u ′ 2 ,u 1 ) = (x 2 ,u 1 ) − (x 2 ,u 1 )(u 1 ,u 1 ) = 0, karena (u 1 ,u 1 ) = 1. Hal ini menunjukkan u ′ 2 ortogonal terhadap u 1 .

Kita bisa menormalisasi u ′ 2 :

ku 2 ′ k

untuk memperoleh vektor satuan kedua u 2 yang ortogonal terhadap u 1 . Kita bisa melanjutkan proses ini secara berulang dengan mendefinsikan

Ketika semua x k telah digunakan, kita memiliki sejumlah n vektor satuan u 1 ,u 2 ,...,u k yang saling ortogonal. Himpunan ini dinamakan himpunan ortonormal. Prosedur ini disebut sebagai proses Gram-Schmidt.