Nilai Eigen dan Vektor Eigen

6.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

6.1.1 Persamaan Sekular

Dalam persamaan nilai eigen, nilai λ disebut sebagai nilai eigen (nilai karakteristik) dan matriks kolom x yang berkaitan dengan ini disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik). Jika A adalah matriks n × n (6.1) diberikan oleh

a 11 a 12 ··· a 1n

 a 21 a 22 ··· a 2n   x 2 

a n1 a n2 ··· a nn

6. Nilai Eigen Matriks

dengan I adalah matriks satuan, kita bisa menuliskan (6.1) sebagai

(A − λI)x = 0.

Persamaan ini memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan dari ma- triks koefisien hilang (bernilai nol):

a 21 a 22 −λ···

Ekspansi dari determinan ini menghasilkan polinomial λ berderajat n, yang disebut sebagai polinomial karakteristik P (λ). Persamaan

(6.4) disebut sebagai persamaan karakteristik (persamaan sekular). Akar-akarnya sejumlah

P (λ) = |A − λI| = 0

n adalah nilai eigen dan akan dinyatakan dengan λ 1 ,λ 2 ,...,λ n . Nilainya bisa berupa bilangan riil dan juga kompleks. Ketika salah satu nilai eigen dimasukkan ulang pada (6.2), vektor eigen x(x 1 ,x 2 ,...,x n ) bisa dicari. Perhatikan bahwa vektor eigen bisa dikalikan dengan konstanta dan akan tetap menjadi solusi dari persamaan.

Kita akan menuliskan x i sebagai vektor eigen untuk nilai eigen λ i . Yaitu, jika P (λ i ) = 0,

maka

Ax i =λ i x i .

Jika nilai eigen yang berjumlah n semuanya berbeda, maka kita akan memiliki n vektor eigen yang berbeda. Jika dua atau lebih nilai eigen sama, kita menyebutnya berdegenerasi. Dalam persoalan yang sama, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi bisa memiliki satu buah vektor eigen. Di lain pihak, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi juga bisa memiliki vektor eigen yang berbeda.

6.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen 257

Contoh 6.1.1. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

Solusi 6.1.1. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Sehingga nilai eigennya adalah

! x 11

Jika kita pilih vektor eigen x 1 berkaitan dengan nilai eigen λ 1 = −1 adalah , x 12

maka x 1 haruslah memenuhi:

Sehingga bisa direduksi menjadi

2x 11 + 2x 12 = 0.

Sehingga vektor eigennya x 11 = −x 12 , yaitu x 11 :x 12 = −1 : 1. Sehingga vektor eigennya bisa dituliskan

Sebuah konstanta, baik positif atau negatif, yang dikalikan dengan vektor eigen ini akan tetap merupakan solusi, namun kita tidak akan menganggapnya sebagai vektor eigen yang berbeda. Dengan prosedur yang serupa, kita bisa menghitung vektor eigen

untuk λ 2 = 3 yaitu

! x 21 1

x 22 1

Contoh 6.1.2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

A=

6. Nilai Eigen Matriks

Solusi 6.1.2. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Nilai eigennya adalah

λ = 1 ± i. ! x 11

Jika λ 1 = 1 + i dan vektor eigennya x 1 adalah

, maka x 1 harus memenuhi

yang memberikan

(2 − i)x 11 − 5x 12 = 0, x 11 − (2 + i)x 12 = 0.

Persamaan pertama memberikan

hasil yang sama juga dibisakan dari persamaan kedua. Sehingga x 1 bisa ditulis sebagai

! 2+i

Dengan cara yang sama, untuk λ = λ 2 = 1 − i vektor eigen x 2 diberikan oleh

! 2−i

Sehingga kita telah memiliki sebuah contoh untuk matriks riil dengan nilai eigen dan vektor eigen kompleks.

Contoh 6.1.3. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

2 −3 A=   2 1 −6  .

6.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen 259

Solusi 6.1.3. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya λ 3 +λ 2 − 21λ − 45 = (λ − 5)(λ + 3) 2 = 0. Persamaan ini memiliki sebuah akar 5 dan dua akar yang sama -3

λ 1 = 5, λ 2 = −3, λ 3 = −3. Vektor eigen yang dimiliki oleh nilai eigen λ 1 haruslah memenuhi persamaan

Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini bisa dituliskan

yang berarti

−7x 11 + 2x 12 − 3x 13 = 0, x 12 + 2x 13 = 0.

Dengan memilih x 13 = 1 maka x 12 = −2 dan x 11 = −1. Sehingga untuk nilai eigen

λ 1 = 5, vektor eigennya x 1 adalah  

−1 x 1 =   −2  .

Karena nilai eigen -3 berdegenerasi sebanyak 2, maka vektor eigen yang kita punyai   x 1 bisa atau dua buah. Marilah kita nyatakan vektor eigennya sebagai    x 2 . Vektor

x 3 eigen ini haruslah memenuhi persamaan

−6       x 2  = 0.

6. Nilai Eigen Matriks

Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini bisa dituliskan

yang berarti

x 1 + 2x 2 − 3x 3 = 0.

Kita bisa menyatakan x 1 dalam x 2 dan x 3 dan tidak terdapat batasan untuk x 2 dan x 3 . Ambil x 2 =c 2 dan x 3 =c 3 sehingga x 1 = −2c 2 + 3c 3 , sehingga kita bisa menuliskan   

Karena c 2 dan c 3 sebarang, pertama kita bisa memilih c 3 = 0 dan memperoleh satu vektor eigen, kemudian yang kedua, kita memilih c 2 = 0 untuk memperoleh vektor eigen yang lain. Sehingga berkaitan dengan nilai eigen λ = −3 yang berdegenerasi ini, terdapat dua buah vektor eigen

Dalam contoh ini, kita hanya memiliki dua buah nilai eigen berbeda, tetapi kita tetap memiliki tiga buah vektor eigen yang berbeda.

Contoh 6.1.4. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

4 6 6 A=   1 3 2  .

Solusi 6.1.4. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya λ 3 2 − 5λ 2 + 8λ − 4 = (λ − 1)(λ − 2) = 0. Tiga buah nilai eigennya

6.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen 261

Dari persamaan untuk vektor eigen x 1 yang dimiliki oleh nilai eigen λ 1

kita memperoleh solusi

4 x 1 =  1   .

Vektor eigen   x 2   yang dimiliki oleh dua buah nilai eigen berdegenerasi, memenuhi x 3

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, kita bisa menunjukkan bahwa persa- maan ini ekivalen dengan

yang berarti

x 1 +x 2 + 2x 3 = 0, 2x 2 +x 3 = 0.

Jika kita memilih x 3 = −2, maka x 2 = 1 dan x 1 = 3, sehingga  

3 x 2 =    1 .

Dua buah persamaan di atas tidak mengijinkan adanya vektor eigen yang merupakan perkalian dengan sebuah konstanta dikalikan x 2 . Sehingga untuk matriks 3 × 3 ini, hanya terdapat dua buah vektor eigen yang berbeda.

6. Nilai Eigen Matriks

6.1.2 Sifat-sifat dari Polinomial Karakteristik

Polinomial karakteristik memiliki banyak sifat yang berguna. Untuk mengelaborasi- nya, pertama kita perhatikan kasus n = 3.

+ (a 11 +a 22 +a 33 2 )(−λ) 3 + (−λ) .

(6.5) Sekarang jika λ 1 ,λ 2 dan λ 3 adalah nilai eigen, maka P (λ 1 ) = P (λ 2 ) = P (λ 3 ) = 0.

Karena P (λ) adalah polinomial orde 3, maka

P (λ) = (λ 1 − λ)(λ 2 − λ)(λ 3 − λ) = 0.

Dengan mengekspansikan polinomial karakteristik P (λ) = λ λ λ + (λ λ +λ λ +λ λ

1 2 3 1 2 2 3 3 1 )(−λ) + (λ 1 +λ 2 +λ 3 )(−λ) + (−λ) . Bandingkan dengan (6.5)

λ 1 +λ 2 +λ 3 =a 11 +a 22 +a 33 = Tr A. Hal ini berarti jumlah nilai eigen sama dengan trace dari A. Hubungan ini sangat

berguna untuk memeriksa apakah nilai eigen yang kita hitung benar. Selanjutnya

a 11 a 12 a 11 a 13 a 22 a 23

a 21 a 22 a 31 a 33 a 32 a 33

6.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen 263

yang merupakan jumlah dari minor utama (principal minor ) atau minor dari elemen diagonal, dan

λ 1 λ 2 λ 3 = |A|.

Hal ini berarti perkalian semua nilai eigen tidak lain adalah determinan dari A yang juga merupakan hubungan yang sangat berguna. Jika A adalah matriks singular |A| = 0, maka paling tidak salah satu nilai eigen adalah nol. Dari sini berarti jika matriks tersebut memiliki invers, maka tidak ada nilai eigen yang nol.

Perhitungan yang sama bisa digunakan untuk mengeneralisasi hubungan-hubungan ini untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi.

Contoh 6.1.5. Carilah nilai eigen dan matriks eigen dari matriks A jika

2 = 6 − 11λ + 6λ 3 −λ = (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ) = 0. Sehingga tiga buah nilai eigennya adalah

Sebagai pemeriksaan, jumlah nilai eigen

yang sama dengan trace A

Tr A = 5 + 4 − 3 = 6.

Selanjutnya hasil kali nilai eigen

6. Nilai Eigen Matriks

yang juga determinan dari A

x 11 Misalkan x 1 adalah 

 x 12  vektor eigen berkaitan dengan nilai eigen λ 1 maka x 13

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, dengan mudah bisa ditunjukkan 

00 0 Sehingga kita memiliki

Hanya satu dari tiga buah bilangan yang tak diketahui bisa kita pilih sebarang. Se- bagai contoh, pilih x 13 = 3 maka x 12 = 1 dan x 11 = 2. Sehingga untuk nilai eigen λ 1 = 1, vektor eigennya

2 x 1 =   1  .

Dengan cara yang sama, untuk λ 2 = 2 dan λ 3 = 3, vektor eigen yang bersesuaian adalah

 1 , dan x 3 =  1 .

6.1.3 Sifat-sifat Nilai Eigen

Terbisa beberapa sifat nilai eigen yang sangat berguna dalam aplikasi matriks. Sifat- sifat ini berdiri sendiri tetapi bisa digunakan secara bersamaan

6.2. Beberapa Terminologi 265

• Matriks transpos ˜ A atau (A T ) memiliki nilai eigen yang sama dengan A. Nilai eigen A dan A T adalah solusi dari |A − λI| = 0 dan |A T − λI| = 0. Karena

A T − λI = (A − λI) T dan determinan sebuah matriks sama dengan determinan transposnya

|A − λI| = |(A − λI) T | = |A − λI|, persamaan sekular untuk A dan (A) T identik. Maka A dan (A) T memiliki nilai

eigen yang sama. • Jika A adalah matriks segitiga baik yang atas maupun bawah, maka nilai eigen-

nya adalah elemen diagonal. Jika |A − λI| = 0 adalah

− λ)(a − λ) · · · (a

= (a 11 22 nn

0 0 0 a nn −λ jelas bahwa λ = a 11 ,λ=a 22 ,...,λ=a nn .

• Jika λ 1 ,λ 2 ,...,λ n adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen dari matriks invers A −1 adalah 1/λ 1 , 1/λ 2 , 1/λ 3 , . . . , 1/λ n . Kalikan persamaan Ax = λx dari kiri dengan A −1

A −1 Ax = A −1 λx = λA −1 x,

dan menggunakan A −1 Ax = Ix = x, kita memiliki x = λA −1 x. Maka

A x= x.

• Jika λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ,...,λ n adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen dari matriks A m adalah λ m

1 ,λ m

2 ,λ 3 ,...,λ n . Karena Ax = λx, maka

A 2 x = A(Ax) = Aλx = λAx = λ 2 x. Dengan cara yang sama

A 3 x=λ 3 x, . . . , A m x=λ m x.