Teorema Integral Cauchy

2.3 Teorema Integral Cauchy

Seperti yang sudah kita lihat integrasi z 2 sepanjang Γ 1 dan Γ 2 pada Gambar 2.7 persis sama. Jadi integrasi pada sebuah loop tertutup dari A ke B sepanjang Γ 1 dan kembali dari B ke A sepanjang Γ 2 sama dengan nol. Pada 1825, Cauchy membuktikan sebuah teorema yang memungkinkan kita melihat hal ini merupakan yang kita tinjau tanpa melakukan integrasi. Sebelum kita membicarakan teorema, marilah kita ulang lemma Green pada variabel riil.

2. Fungsi Kompleks

2.3.1 Lemma Green

Ter hubungan penting yang mengijinkan kita mentransformasikan sebuah integral garis menjadi sebuah integral luas untuk garis dan luas pada bidang−xy. Ini sering disebut sebagi lemma Green yaitu

I ZZ

∂P (x, y) [P (x, y) dx + Q(x, y) dy] =

∂Q(x, y)

dx dy (2.12)

∂x

∂y

dengan C kurva tertutup yang di sekeliling R. Kurva C berlawanan arah jarum jam, yaitu dengan daerah R selalu ke kiri seperti Gambar 2.8.

Gambar 2.8: Kontur tertutup C dari integral garis dalam lemma Green. C berlawanan arah jarum jam dan didefinisikan sebagai arah positif terhadap arah interior dari R.

Untuk membuktikan lemma Green, marilah kita gunakan Gambar 2.9, bagian (a) untuk melakukan integrasi ruas pertama integral luas lipat dua ZZ

# ∂Q(x, y)

Z d "Z x=g 2 (y) ∂Q(x, y)

x=g 2 = (y) [Q(x, y)]

x=g 1 (y) dy.

Sekarang

x=g 2 [Q(x, y)] (y)

x=g 1 (y) dy =

Q(g 2 (y), y) dy −

Q(g 1 (y), y) dy

Q(g 2 (y), y) dy +

Q(g 1 (y), y) dy.

Kontur pada integral garis terakhir dari y = c melalui g 2 (y) ke y = d dan kembali melalui g 1 (y) ke y = c. Jelaslah ini adalah integral loop tertutup yang berlawanan arah jarum jam

ZZ ∂Q(x, y)

dx dy =

Q(x, y) dy.

∂x

c.c.w

2.3. Teorema Integral Cauchy

Gambar 2.9: Kontur yang sama tetapi dengan dua cara berbeda untuk melakukan integral lipat dua dari lemma Green.

Sekarang kita menggunakan Gambar 2.9, bagian (b) untuk menghitung luas integral lipat dua

P (x, f 2 (x)) dx −

P (x, f 1 (x)) dx

P (x, f 2 (x)) dx +

P (x, f 2 (x)) dx.

Dalam kasus ini kontur dari x = a melalui f 2 (x) ke x = b dan kembali ke x = a melalui

f 1 (x). Jadi searah jarum jam ZZ

∂P (x, y) R

P (x, y)dx. (2.14) ∂y

dx dy =

P (x, y)dx = −

c.w

c.c.w.

Dalam langkah terakhir kita sudah mengubah tanda untuk membuatnya berlawanan arah jarum jam.

Kurangkan (2.14) dari (2.13), kita mempunyai lemma Green ZZ

∂Q(x, y)

∂P (x, y)

dx dy =

[Q(x, y) dy + P (x, y) dx]

∂x

∂y

c.c.w.

2.3.2 Teorema Cauchy-Goursat

Sebuah teorema penting dalam integrasi kompleks adalah sebagai berikut:

2. Fungsi Kompleks

Jika C berupa kontur tertutup dan f (z) analitik di dalam dan pada C, maka

f (z)dz = 0

yang dikenal sebagai teorema Cauchy. Buktinya adalah sebagai berikut. Kita mulai dengan

f (z) dz =

(u dx − v dy) + i

(v dx + u dy), (2.16)

gunakan lemma Green (2.12) dan kita identifikasi P sebagai u dan Q sebagai −v, kita mempunyai

Karena f (z) analitik, jadi u dan v memenuhi syarat Cauchy-Riemann. Secara khusus

jadi integral luas lipat duanya sama dengan nol, maka

I (u dx − v dy) = 0

Dengan cara yang sama, jika Q sebagai u dan P sebagai v

Karena syarat Cauchy- Riemann lainnya

integral ruas kirinya sama dengan nol

I (v dx + u dy) = 0

Jadi kedua buah integral pada ruas kanan (2.16) sama dengan nol, maka

f (z) dz = 0,

yang dikenal sebagai teorema integral Cauchy. Dalam pembuktian ini, kita telah menggunakan lemma Green yang mensyaratkan

turunan pertama u dan v kontinu. Jadi secara implisit kita telah mengasumsikan turunan f (z) kontinu. Pada 1903, Gourast membuktikan teorema ini tanpa meng- asumsikan kontinuitas dari f (z). Maka teorema ini dikenal juga sebagai teorema Cauchy-Gourast. Secara matematik, penghilangan asumsi kontinuitas oleh Gourast pada pembuktian sangatlah penting karena hal ini mengijinkan kita memperoleh tu- runan fungsi analitik adalah analitik dan secara otomatis kontinu. Bukti Gourast bisa dibaca pada Complex Variables and Applications oleh J.W. Brown and R.V. Churchill Complex Variable and Applications, 5th edn. (McGraw-Hill, New York 1989).

2.3. Teorema Integral Cauchy

2.3.3 Teorema Kalkulus Fundamental

Jika kontur tertutup Γ dibagi menjadi dua Γ 1 dan Γ 2 , seperti Gambar 2.7, dan f (z) analitik pada dan di antara Γ 1 dan Γ 2 , maka teorema integral Cauchy bisa dituliskan sebagai

dengan tanda negatif muncul karena kita telah menukar batas integrasi pada integral terakhir. Jadi kita mempunyai

menunjukkan bahwa nilai integral garis antara dua buah titik bebas terhadap lintasan yang diberikan integran yang berupa fungsi analitik dalam domain pada dan di antara kontur.

Dengan hal ini, kita bisa membuktikan, sepanjang f (z) analitik pada sebuah daerah mengandung A dan B

f (z) dz = F (B) − F (A),

= f (z).

secara unik mendefinisikan fungsi F (z) jika z 0 merupakan titik tertentu dan f (z) analitik pada semua daerah yang mengandung lintasan antara z 0 dan z. Dengan cara yang sama, kita bisa mendefinisikan

Z z+∆z

Z z+∆z

Z z+∆z

F (z + ∆z) − F (z) =

f (z ′ ) dz ′ .

Untuk ∆z yang kecil, ruas kanan menjadi

Z z+∆z

f (z ′ )dz ′ → f(z)∆z,

2. Fungsi Kompleks

yang mengimplikasikan

F (z + ∆z) − F (z) = f (z). ∆z

Jadi

dF (z) = f (z) dz

diperoleh teorema kalkulus fundamental:

f (z)dz =

dF (z) = F (B) − F (A).

R 1+i

Contoh 2.3.1. Carilah nilai integral

0 z dz.

Solusi 2.3.1. Z 1+i

1+i

2 1 2 z 2 dz = z 3 = 1 (1 + i) 3 =− + i.

0 3 0 3 3 3 Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan Contoh 2.2.1.

Contoh 2.3.2. Carilah nilai integral berikut:

Z πi

Z 4−3πi

cos zdz, I 2 =

Solusi 2.3.2. Z πi

I 1 = cos zdz = [sin z] πi −πi = sin(πi) − sin(−πi)

−πi

= 2 sin(πi) = 2

e i(iπ)

−e π −i(iπ) =e −e −π

i ≃ 23.097i.

2i

Z 4−3πi

h i 4−3πi

2+i3π/2 4+πi

z/2

e dz = 2e z/2

=2 e 2−i3π/2

−e

4+πi

= 2e 2 e −i3π/2 −e −i3π/2 = 2e 2 (i − i) = 0.

Contoh 2.3.3. Carilah nilai integral berikut:

Z i dz .

−i z

Solusi 2.3.3. Karena z = 0 merupakan sebuah titik singular, lintasan integrasinya tidak melalui titik asal. Selanjutnya

Z dz = ln z + C

dengan ln z berupa fungsi bernilai jamak, jadi ter potongan cabang. Untuk menghi- tung integral berhingga ini kita harus menentukan lintasan z dari −i ke i. Ter dua

buah kemungkinan dalam (a) dan (b) gambar berikut:

2.4. Konsekuensi Teorema Cauchy

(a) Dari −i ke i di sebelah kanan bidang kompleks, kita harus mengambil sumbu riil negatif sebagai potongan cabang. Dalam cabang utama, −π < θ < π. Jadi

z 1 θ=− π = [iθ] 2 2 θ=− 1 2 π =i π+i π = iπ.

2 2 (b) Dari −i ke i di sebelah kiri bidang kompleks, kita harus mengambil sumbu riil

−i

positif sebagai potongan cabang. Dalam cabang utama, 0 < θ < 2π. Jadi Z i

dz

] θ= 2 3 π = [iθ] θ=− 1 2 π =i π+i π = −iπ. −i z

1 = [ln z] 1 i = [ln e iθ θ= 2 π θ= 2 π

−i