Integrasi Kompleks

2.2 Integrasi Kompleks

Ter berbagai teorema yang elegan berkaitan dengan mengintegrasikan fungsi analitik pada sebuah loop. Teorema ini membuat integrasi kompleks menjadi menarik dan berguna. Tetapi sebelum kita membicarakannya, kita harus mendefinisikan integrasi kompleks.

2.2.1 Integral Garis Fungsi Kompleks

Ketika sebuah variabel kompleks z bergerak dalam bidang kompleks dua dimensi, maka variabel ini membuat sebuah kurva. Jadi untuk mendefinisikan sebuah fungsi kompleks f (z) antara dua buah titik A dan B, kita juga harus menentukan lintasan (yang disebut kontur) sepanjang z bergerak. Nilai integralnya akan bergantung, se- cara umum, terhadap kontur. Tetapi, kita akan menemukan, dalam kondisi tertentu, integralnya tidak bergantung terhadap kontur yang kita pilih.

Kita nyatakan integral sebuah fungsi kompleks f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sepanjang kontur Γ dari titik A ke titik B sebagai

I=

f (z) dz.

A,Γ

2.2. Integrasi Kompleks

Gambar 2.6: Jumlah Riemann sepanjang kontur Γ yang dibagi menjadi n segmen.

Integralnya bisa didefinisikan sebagai jumlah Riemann seperti dalam integrasi variabel riil. Konturnya dibagi menjadi n segmen seperti Gambar 2.6.

Kita membentuk penjumlahan

dengan z 0 = A, z n = B, dan f (ζ i ) merupakan fungsi yang dihitung di titik pada Γ antara zi − 1 dan z i . Jika I n dihitung sebagai limit ketika n → ∞ dan |∆z i | →, maka integralnya bisa kita definisikan sebagai

|∆z i |→0,n→∞ i=1

Karena ∆z i = ∆x i + i∆y i seperti Gambar 2.6, integralnya bisa dituliskan sebagai

f (z)dz =

(u + iv)(dx + i dy) =

[(u dx − v dy) + i(v dx + u dy)]

A,Γ A,Γ

A,Γ

(u dx − v dy) + i(v dx + u dy).

A,Γ

Jadi integral kontur kompleksnya dinyatakan sebagai dua buah integral garis.

2. Fungsi Kompleks

Contoh 2.2.1. Hitunglah integral I = A dz dari z A = 0 ke z B = 1+i, (a) sepanjang kontur Γ 1 :y=x 2 , (b) sepanjang sumbu−y dari 0 ke i, kemudian sepanjang garis

horizontal dari i ke 1 + i, as Γ 2 ditunjukkan Gambar 2.7.

Solusi 2.2.1.

Gambar 2.7: Dua kontur Γ 1 dan Γ 2 dari A (z A = 0) ke B (z B = 1 + i), Γ 1 sepanjang kurva y = x 2 ,

Γ 2 : pertama sepanjang sumbu−y ke C, z C = i kemudian sepanjang sumbu horizontal ke B.

f (z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 −y 2 ) + i2xy = u + iv,

f (z) dz = [(x 2 2 2 −y 2 )dx − 2xy dy] + i + [2xy dx + (x −y ) dy].

A,Γ A,Γ

A,Γ

(a) Sepanjang Γ 1 , y=x 2 , dy = 2x dx Z B Z 1 Z 1

f (z) dz = [(x 2 4 2 2 2 −x 2 ) dx − 2xx 2x dx] + i [2xx dx + (x −x )2x dx]

0 0 3 3 (b) Misalkan z C = i seperti pada Gambar 2.7. Jadi

Dari A ke C: x = 0, dx = 0

f (z) dz =

(x 2 − 1) dx + i

2x dx = − +i C,Γ 2 0 0 3

2.2. Integrasi Kompleks

Dari C ke B: y = 1, dy = 0 Z B

f (z) dz = − i− +i=− + i.

A,Γ 2 3 3 3 3 Integral sepanjang Γ 1 dan Γ 2 adalah sama.

2.2.2 Bentuk Parametrik Integral Garis Kompleks

Jika sepanjang kontur Γ, z dinyatakan secara parametrik, integral garisnya bisa di- transformasikan menjadi sebuah integra; biasa dengan sebuah variabel bebas. Jika

z = z(t), dengan t sebuah parameter, dan A = z(t A ), (B) = z(t B ), maka

Z B Z t B dz

f (z) dz =

f (z(t))

Sebagai contoh, pada Γ 1 dari contoh terakhir, y = x 2 , kita bisa memilih z(t) = x(t) + iy(t) dengan x(t) = t dan y(t) = t 2 . Diperoleh dz dt = 1 + i2t dan

z 2 dz =

(t + it 2 ) 2 (1 + i2t) dt

A,Γ 1 0 Z 1

[(t 2 2 ) + i(4t 2 5 2 − 5t 2 − 2t )] dt = − + i

0 3 3 Dengan cara yang sama pada Γ 2 dari contoh terakhir, dari A ke C kita bisa memilih z(t) = it dengan 0 ≤ t ≤ 1 dan dz dt = i. Dari C ke B kita bisa memilih z(t) = (t − 1) + i

dengan 1 ≤ t ≤ 2 dan dz dt = 1. Jadi

z 2 dz =

(it) 2 i dt +

(t − 1 + i) 2 dt.

A,Γ 2 0 1

1 2 2 2 =− i− +i=− + i.

Parameterisasi Kontur Lingkaran Sebuah kontur lingkaran bisa dengan mudah diparameterisasi dengan variabel sudut

koordinat polar. Ini merupakan hal penting karena dengan prinsip deformasi kon- tur, yang akan kita lihat, integrasi kontur lain juga bisa dilakukan dengan mengubah konturnya menjadi sebuah lingkaran.

Perhatikan integral I = C f (z)dz, dengan C merupakan sebuah lingkaran berjari- jari r, berpusat di titik asal. Kita bisa menyatakan z sebagai

z(θ) = r cos θ + ir sin θ = re iθ

dz

= −r sin θ + ir cos θ = ire iθ

dθ

2. Fungsi Kompleks

Ini berarti dz = ire iθ dθ, sehingga integralnya menjadi

Z 2π

I=

f (re iθ )ire iθ dθ

Contoh berikut menggambarkan bagaimana prosedur ini bekerja.

Contoh 2.2.2. Hitung integral C z n dz, dengan n bilangan bulat dan C merupakan sebuah lingkaran berjari-jari r, berpusat di titik asal. Solusi 2.2.2.

e i(n+1)θ dθ

Untuk n 6= −1 Z 2π

1 h i(n+1)θ i 2π

i(n+1)θ

Untuk n = 1

dθ = 2πi.

Ini berarti

Perhatikan bahwa hasilnya tidak bergantung jari-jari r.

Beberapa Sifat Integral Garis Kompleks Bentuk parametrik dari integral garis kompleks membuat kita bisa melihat dengan

cepat banyak rumus integral biasa variabel riil bisa secara langsung digunakan dalam integrasi kompleks. Sebagai contoh, integral kompleks dari B ke A sepanjang lintasan

Γ yang sama diberikan oleh ruas kanan (2.10) dengan t A dan t B ditukar, sehingga ada tanda negatif pada persamaan. Jadi

Dengan cara yang sama, jika C pada Γ, maka

f (z) dz =

f (z) dz +

f (z) dz.

A,Γ

A,Γ

C,Γ

2.3. Teorema Integral Cauchy

Jika integral dari A ke B sepanjang Γ 1 dan dari B kembali ke A sepanjang kontur berbeda Γ 2 , kita bisa menuliskan jumlah dua integralnya sebagai

dengan Γ = Γ 1 +Γ 2 dan simbol Γ untuk menegaskan integrasinya berlawanan arah jarum jam sepanjang kontr tertutup Γ . Jadi

c.c.w

dengan c.c.w berarti counter clockwise, berlawanan arah jarum jam dan c.w berarti clockwise searah jarum jam.

Kita juga bisa membuktikan

dengan M adalah nilai maksimum dari |f(z)| pada Γ dan L adalah panjang Γ . Ini karena

t A dt yang merupakan generalisasi |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 |. Dengan definisi M, kita mempunyai

Jadi dengan (2.10), kita mempunyai