Perkalian Matriks

5.2 Perkalian Matriks

5.2.1 Perkalian Dua Buah Matriks

Perkalian, atau produk, dua matriks bukan merupakan ekstensi sederhana dari konsep perkalian dua buah bilangan. Definisi perkalian matriks dimotivasi oleh teori transfor- masi linier yang akan kita pelajari pada Subbab 5.3.

5.2. Perkalian Matriks 219

Gambar 5.1: Ilustrasi perkalian matriks. Jumlah kolom A harus sama dengan jumlah baris B untuk perkalian AB = C terdefinisi. Elemen baris ke−i dan kolom ke−j dari C diberikan oleh

c ij =a i1 b 1 j +a i2 b 2 j +···+a im b mj .

Dua buah matriks A dan B bisa dikalikan bersama-sama jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian matriks bergantung pada urutan kemunculan matriks dalam perkalian. Sebagai contoh jika A memiliki orde l × m, dan B berorde m × n, maka perkalian matriks AB terdefinisi tetapi perkalian BA, dalam perkalian tersebut tidak terdefinisi kecuali m = l. Perkalian didefinisikan sebagai berikut. Jika

A = (a ij ) l×m ,

B = (b ij ) m×n ,

kemuadian AB = C yang berarti C adalah matriks berorde l × n dan

Sehingga elemen matriks C pada baris ke−i dan kolom ke−j adalah jumlah semua perkalian elemen matriks A baris ke−i dan elemen matriks B kolom ke−j. Sehingga, jika

maka ! (a 11 b 11 +a 12 b 21 ) (a 11 b 12 +a 12 b 22 ) (a 11 b 13 +a 12 b 23 )

C= . (a 21 b 11 +a 22 b 21 ) (a 21 b 12 +a 22 b 22 ) (a 21 b 13 +a 22 b 23 )

Ilustrasi perkalian matriks ada pada Gambar 5.1. Jika perkalian AB terdefinisi, A dan B dikatakan comformable (atau compatible).

Jika perkalian AB terdefinisi, perkalian BA tidak harus terdefinisi. Diberikan dua matriks A dan B, perkalian AB dan BA akan mungkin jika, A berorde m × n dan

B berorde n × m. AB akan berorde m × m dan BA akan berorde n × n. Jelaslah jika m 6= n, AB tidak bisa sama dengan BA, karena ordenya berbeda. Meskipun jika n = m, AB tidak harus sama dengan BA. Contoh berikut akan membuat jelas.

5. Aljabar Matriks

Contoh 5.2.1. Carilah perkalian AB jika

Di sini A berorde 2 × 2 dan orde B adalah 2 × 3, sehingga AB berorde 2 × 3 dan BA tidak terdefinisi.

Contoh 5.2.2. Carilah perkalian AB jika

Di sini AB adalah matriks kolom dan BA tidak terdefinisi.

Contoh 5.2.3. Carilah AB dan BA jika

Contoh ini secara dramatis menunjukkan AB 6= BA.

5.2. Perkalian Matriks 221

Contoh 5.2.4. Carilah perkalian AB dan BA jika

Contoh 5.2.5. Carilah perkalian AB dan BA jika

Tidak hanya AB 6= BA, tetapi juga AB = 0 tidak mengimplikasikan A = 0 atau

B = 0 atau BA = 0.

Contoh 5.2.6. Misalkan

00 04 02 Buktikan bahwa AB = AC.

Contoh ini menunjukkan bahwa AB = AC bisa terpenuhi tanpa B = C atau A = 0.

5. Aljabar Matriks

5.2.2 Motivasi Perkalian Matriks

Sebagian besar kegunaan aljabar matriks adalah sifat perkaliannya. Definisi perkalian matriks, seperti yang sudah kita lihat, kelihatan “tidak alami” dan rumit. Motivasi definisi ini berasal dari “transformasi linier.” Perkalian matriks memberikan mekanis- me sederhana untuk mengubah variabel. Sebagai contoh, anggap

y 1 =a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ,

(5.2a)

(5.2b) dan selanjutnya

(5.3b) Dalam persamaan ini x dan y adalah variabel, sedangkan a dan b merupakan kon-

z 2 =b 21 y 1 +b 22 y 2 .

stanta. x dan y dihubungkan oleh himpunan persamaan peratama, sedangkan y ber- hubungan dengan z melalui himpunan persamaan kedua. Untuk mencari hubungan antara x dengan z, kita harus mengganti nilai y yang diberikan pada himpunan per- samaan pertama ke dalam himpunan persamaan kedua

z 1 =b 11 (a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 )+b 12 (a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ), (5.4a) z 2 =b 21 (a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 )+b 22 (a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ).

(5.4b) Persamaan ini bisa kita tuliskan sebagai

z 1 = (b 11 a 11 +b 12 a 21 )x 1

+ (b 11 a 12 +b 12 a 22 )x 2 + (b 11 a 13 +b 12 a 23 )x 3 , (5.5a)

z 2 = (b 21 a 11 +b 22 a 21 )x 1

+ (b 21 a 12 +b 22 a 22 )x 2 + (b 21 a 13 +b 22 a 23 )x 3 . (5.5b) Sekarang dengan menggunakan notasi matriks (5.2) bisa dituliskan

dan (5.3) sebagai

Tidak hanya koefisien x 1 ,x 2 ,x 3 dalam (5.5) adalah elemen dari perkalian matriks

b 11 b 12 a 11 a 12 a 13

b 21 b 22 a 21 a 22 a 33

5.2. Perkalian Matriks 223

tetapi juga berada pada tempat yang seharusnya. Dengan kata lain, (5.5) bisa dipe- !

roleh dengan mengganti

dari (5.6) ke (5.7)

Apa yang sudah kita tunjukkan di sini adalah dua buah hal penting. Pertama, perkalian matriks didefinisikan sedemikian rupa sehingga transformasi linier bisa di- tuliskan dalam bentuk kompak. Kedua, jika kita mensubstitusi transformasi linier ke yang lain, kita bisa memperoleh transformasi komposit dengan mengalikan matriks ko- efisien dengan urutan yang benar. Transformasi jenis ini tidak hanya sering dijumpai dalam matematika, tetapi sangat penting dalam fisika. Kita akan membicarakannya belakangan.

5.2.3 Sifat-sifat Perkalian Matriks

Salah satu hasil penting dalam aljabar matriks adalah transpos perkalian dua buah matriks sama dengan perkalian matriks transpos dengan urutan yang dibalik,

(AB) T =e Be A. (5.9) Untuk membuktikan ini kita harus menunjukkan bahwa tiap elemen ruas kiri sama

dengan elemen yang bersesuaian pada ruas kanan. Elemen ke−ij pada ruas kiri (5.9) diberikan oleh

(AB) T ij = (AB) ji =

(A) jk (B) ki .

Elemen ke−ij ruas kanan (5.9) diberikan oleh

X k (5.11)

(A) jk (B) ki

dalam langkah terakhir kita menukar (B) ki dengan (A) jk , karena hanya bilangan. Sehingga (5.9) terbukti.

Contoh 5.2.7. Misalkan

A=

, dan B=

5. Aljabar Matriks

buktikan bahwa

(AB) T =e Be A.

Solusi 5.2.7.

2 3 15 8 22 8 −2 AB =

, (AB) T = ,

22 −4 Sehingga (AB) T =e Be A.

Trace Matriks Trace dari matriks persegi A = (a) ij didefinisikan sebagai jumlah elemen diagonalnya

dan dinotasikan dengan TrA

Teorema trace yang penting adalah trace dari perkalian matriks yang berhingga inva- rian terhadap permutasi siklik matriks. Kita pertama akan membuktikan teorema ini untuk perkalian dua matriks dan sisanya mengikuti.

Misalkan A adalah matriks n × m dan B matriks m × n maka

Tr(AB) =

(AB) ii =

Tr(BA) =

(BA) jj =

Karena a ij dan b ji hanyalah bilangan urutannya bisa dibalik, maka

Tr(AB) = Tr(BA)

Perhatikan bahwa trace hanya didefinisikan untuk matriks persegi, tetapi A dan

B tidak harus berupa matriks persegi sepanjang hasil perkaliannya adalah matriks persegi. Orde AB bisa berbeda dengan orde BA, tetapi tracenya sama.

Sekarang

Tr(ABC) = Tr(A(BC)) = Tr((BC)A)

= Tr(BCA) = Tr(CAB).

Perlu diperhatikan di sini bahwa trace perkalian sejumlah matriks tidak invarian ter- hadap permutasi sebarang, tetapi hanya pada permutasi siklik dari perkalian matriks.

5.2. Perkalian Matriks 225

Contoh 5.2.8. Misalkan

buktikan bahwa (a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), dan (b) Tr(AB) = Tr(A)Tr(B). Solusi 5.2.8. (a)

5 0 7 Tr(A + B) = Tr  521    +  912   = Tr  14 3   3 

101 Tr(A) + Tr(B) = Tr 

4 24 10 Tr(AB) = Tr  521   912 

11 8 9 Tr(BA) = Tr  912   521 

Hukum Asosiatif Perkalian Matriks Jika A, B dan C tiga buah matriks dan perkalian AB dan BC terdefinisi, maka

(5.13) Dengan kata lain, urutan perkalian matriks yang dikalikan pertama tidak penting.

(AB)C = A(BC).

Untuk membuktikannya misalkan

A = (a ij ) m×n ,

B = (b ij ) n×o ,

C = (c ij ) o×p .

5. Aljabar Matriks

Elemen ke−ij ruas kiri (5.13) adalah

((AB)C) ij =

(AB) ik (C) kj =

sedangkan elemen ke−ij ruas kanan (5.13) adalah

(A(BC)) ij =

(A) il (BC) lj =

Jelaslah ((AB)C) ij = (A(BC)) ij .

Contoh 5.2.9. Misalkan

2 1 tunjukkan bahwa

A(BC) = (AB)C.

Solusi 5.2.9.

(A(BC)) =  3 2 

(AB)C =

Jelaslah A(BC) = (AB)C. Hal ini adalah salah satu sifat penting dalam aljabar matriks.

5.2. Perkalian Matriks 227

Hukum Distributif Perkalian Matriks Jika A, B dan C adalah tiga buah matriks sehingga B + C dan perkalian AB dan BC

terdefinisi maka

(5.14) Untuk membuktikan ini, misalkan

A(B + C) = AB + BC.

C = (c ij ) n×p (5.15) sehingga penjumlahan B + C dan perkalian AB dan AC terdefinisi. Elemen ke−ij

A = (a ij ) m×n ,

B = (b ij ) n×p ,

ruas kiri (5.14) adalah

(A(B + C)) ij =

Elemen ke−ij ruas kanan (5.14) adalah (AB + AC) ij = (AB) ij + (AC) ij

Sehingga (5.14) terbukti.

Contoh 5.2.10. Misalkan

4 −1 tunjukkan bahwa

C(A + B) = CA + CB.

Solusi 5.2.10.

C(A + B) =  1 3  

5. Aljabar Matriks

6 0 Sehingga C(A + B) = CA + CB.

5.2.4 Determinan Perkalian Matriks

Dalam bab tentang determinan, kita telah mempelajari nilai determinan perkalian dua buah matriks sama dengan perkalian dua buah determinan. Sehingga, jika A dan

B merupakan matriks persegi dengan orde sama, maka

|AB| = |A||B|.

Hubungan ini menarik. Kita bisa membuktikan dengan sifat perkalian matriks. Kita akan menggunakan matriks 2 × 2 untuk mengilustrasikan langkah pembuktian, tetapi jelas bahwa proses ini berlaku untuk semua orde.

1. Jika D adalah sebuah matriks diagonal, mudah dibuktikan bahwa |DA| = |D||A|. !

d 11 0

Sebagai contoh, jika D =

|DA| = =d 11 d 22 = |D||A|.

d 22 a 21 d 22 a 22 a 21 a 22

2. Matriks persegi sebarang bisa didiagonalkan dengan beberapa operasi yang men- jumlahkan sejumlah baris ke baris lain.

Sebagai contoh, misalkan B = . Kalikan baris 1 dengan −3 dan jum-

lahkan pada baris 3 matriksnya menjadi . Jumlahkan baris 2 ke baris

1 kita mempunyai matriks diagonal

5.2. Perkalian Matriks 229

3. Tiap operasi baris ekivalen dengan mengalikan matriks dengan matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan operasi yang sama dengan matriks identitas.

10 Sebagai contoh kita kalikan baris 1 dengan −3 pada

, kita peroleh ma-

triks elementer . Kalikan matriks ini dari kiri B −3 1

34 0 −2 kita memperoleh hasil yang sama dengan operasi langsung pada B. Matriks

elementer yang diperoleh dengan menambahkan baris dua dengan baris satu ! !

12 1 2 adalah

. Kalikan matriks ini dari kiri pada , kita memperoleh

01 0 −2 matriks diagonal

4. Kombinasikan persamaan terakhir !

0 −2 kita bisa menuliskan persamaannya sebagai

Persamaan ini mengatakan bahwa matriks B didiagonalkan oleh matriks E yang merupakan hasil perkalian beberapa matriks elementer.

5. Karena cara pembuatan matriks E, mengalikan E dari kiri matriks M sebarang ekivalen dengan penjumlahan berulang sebuah baris ke baris lain dari M . Dari teori determinan, kita tahu operasi ini tidak mengubah nilai determinan. Sebagai contoh

|EB| = |D| =

|B| =

5. Aljabar Matriks

Sehingga determinan matriks yang terdiagonalkan D, sama dengan diagonal matriks asalnya B,

|D| = |B|.

Di sini M bisa berupa matiks sebarang yang kompatibel

|EM| = |M|.

6. Sekarang misalkan M = BA

|E(BA)| = |BA|.

Tetapi |E(BA)| = |(EB)A| = |DA| = |D||A|,

karena D matriks diagonal. Di lain pihak |D| = |B|, maka

|BA| = |B||A|.

Karena |B||A| = |A||B|, diperoleh |BA| = |AB|, meskipun AB tidak sama dengan BA.

5.2.5 Komutator

Selisih hasil perkalian AB dengan BA dikenal sebagai komutator

[A, B] = AB − BA.

Kasus khusus ketika AB = BA, maka

[A, B] = 0,

maka matriks A dan B dikatakan saling komut. Dari definisi kita bisa memperoleh

• [A, A] = 0 • [A, I] = [I, A] = 0 • [A, B] = −[B, A] • [A, (B + C)] = [A, B] + [A, C] • [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

5.2. Perkalian Matriks 231

Contoh 5.2.11. Misalkan

01 0 −i

0 0 −1 yang dikenal sebagai matriks Pauli. Buktikan bahwa

Dengan cara yang sama [σ y ,σ z ] = 2iσ x dan [σ z ,σ x ] = 2iσ y .

Contoh 5.2.12. Buktikan jika sebuah matriks B komut dengan matriks diagonal tanpa dua buah elemen yang sama, maka B haruslah sebuah matriks diagonal. Solusi 5.2.12. Untuk membuktikan ini, misalkan B komut dengan matriks diagonal

A berorde n yang elemennya

(A) ij =a i δ ij ,

a i 6= a j jika

i 6= j.

Kita diberikan

AB = BA.

Misalkan elemen B adalah b ij , kita akan menunjukkan bahwa b ij = 0 kecuali i = j. Elemen ke−ij dua buah ruas adalah

Dengan (5.16), hal ini menjadi

a i δikb kj =

dengan definisi fungsi delta

a i b ij =b ij a j .

5. Aljabar Matriks

Hal ini menunjukkan

(a i −a j )b ij = 0.

Sehingga b ij haruslah nol untuk i 6= j, karena untuk kasus ini a i 6= a j . Elemen tak nol B hanyalah elemen diagonal b ii , membuktikan bahwa B adalah matriks diagonal.