Invers Matriks

5.4 Invers Matriks

5.4.1 Matriks Tak Singular

Sebuah matriks A dikatakan tak singular jika terdapat sebuah matriks B sedemikian rupa sehingga

BA = I,

dengan I berupa matriks identitas (satuan). Jika matriks B tidak ada, maka A di- katakan matriks singular. Matriks B adalah invers dari A begitu juga sebaliknya. Matriks invers dinyatakan dengan A −1

A −1 = B.

Hubungan ini timbal balik. Jika B adalah invers dari A, maka A adalah invers dari

B. Karena

(5.21) kalikan dengan B −1 dari kiri

Kita peroleh

A=B −1 .

Eksistensi Jika A matriks tak singular, maka determinan |A| 6= 0.

Bukti. Jika A matriks tak singular, maka A −1 ada dan AA −1 = I. Sehingga

|AA −1 | = |A| · |A −1 | = I.

Karena |I| = 1, maka |A| maupun |A −1 | tidak boleh nol. Jika |A| 6= 0, kita akan membuktikan bahwa A −1 selalu bisa dicari.

5. Aljabar Matriks

Keunikan Invers sebuah matriks, jika ada, adalah unik. Yaitu, jika

Hal ini bisa dilihat sebagai berikut. Karena AC = I, dengan definisi C = A −1 . Diperoleh

CA = AC = I.

Kalikan persaman ini dari kanan dengan B, kita peroleh

(CA)B = IB = B.

Tetapi

(CA)B = C(AB) = CI = C.

Jelas dari dua persamaan terakhir bahwa B = C.

Invers Perkalian Matriks Invers perkalian beberapa matriks, tanpa matriks singular, sama dengan perkalian

invers dilakukan secara terbalik. Bukti. Perhatikan tiga buah matriks tak singular A, B, C. Kita akan membuktikan

(ABC) −1 =C −1 B −1 A −1 .

Dengan definisi

ABC(ABC) −1 = I.

Sekarang

ABC(C −1 B −1 A −1 ) = AB(CC −1 )B −1 A −1 = ABB −1 A −1 = AIA −1 = AA −1 = I.

Karena invres unik, maka

(ABC) −1 =C −1 B −1 A −1 .

5.4. Invers Matriks 243

5.4.2 Invers Matriks dengan Aturan Cramer

Untuk mencari A −1 , marilah kita perhatikan himpuan persamaan linier tak homogen 

dituliskan sebagai

(5.24) Menurut aturan Cramer yang dibahas pada bab determinan

(A)(x) = (d).

|A|

dengan |A| adalah determinan A dan N i adalah determinan

Ekspansikan N i pada kolom ke−i, kita mempunyai

dengan C ji adalah kofaktor baris ke−j dan kolom ke−i dari A. Sekarang jika A −1 = B, yaitu

Kalikan A −1 pada (5.24) dari kiri

(A −1 )(A)(x) = (A −1 )(d)

sehingga

(x) = (A −1 )(d),

5. Aljabar Matriks

Bandingkan (5.25) dan (5.26), jelaslah

Sehingga proses memperoleh invers matriks tak singular terdiri dari langkah beri- kut:

1. Dapatkan kofaktor untuk setiap elemen matriks A dan tuliskan matriks kofaktor dalam bentuk

2. Transposkan kofaktor tersebut untuk memperoleh

3. Kalikan dengan 1/ det A untuk memeperoleh inversnya

Contoh 5.4.1. Carilah invers matriks berikut dengan aturan Cramer

A=   15 −6

5.4. Invers Matriks 245

Solusi 5.4.1. Sembilan buah kofaktor A adalah −6

5 15 5 15 −6 Nilai determinan A bisa diperoleh dari ekspansi Laplace pada baris dan kolom seba-

rang. Sebagai contoh, terhadap kolom pertama |A| = −3C 11 + 15C 21 − 5C 31 = −6 + 0 + 5 = −1. Sehingga inversnya ada. Matriks kofaktor C-nya adalah

Inversnya bisa diperoleh dengan mentransposkan C dan membagi dengan det A

0 −1 −3 Dapat dengan mudah diverifikasi bahwa

Dalam literatur, transpos matriks kofaktor A kadang dituliskan sebagai adjoin A, yaitu adjA = e

A. Tetapi nama adjoin memiliki arti yang berbeda, terutama dalam mekanika kuantum. Biasanya didefinisikan sebagai konjugat Hermitian, A † , yakni adjA = A † .

Untuk matriks yang besar, terdapat cara yang lebih efisien untuk mencari invers matriks. Tetapi untuk matriks 2 × 2 tak singular

a 11 a 12 A=

a 21 a 22

dengan metode yang kita pelajari ini, kita peroleh

Hasil ini sederhana, sangat berguna untuk diingat.

5. Aljabar Matriks

Contoh 5.4.2. Carilah invers matriks berikut

cos θ Mudah untuk diperiksa bahwa

5.4.3 Invers Matriks Elementer

Matriks Elementer Sebuah matriks elementer adalah matriks yang bisa diperoleh dari matriks identitas

I dengan sebuah operasi elementer. Sebagai contoh, matriks elementer E 1 diperoleh dengan menukar baris 1 dan baris 2 dari matriks identitas orde 3 adalah

Di sisi lain, operasi baris elementer dengan menukar baris 1 dan baris 2 sebuah matriks A sebarang dengan orde 3 × n bisa dilakukan dengan mengalikan A dengan matriks elementer E 1

a 11 a 12 a 21 a 22

  a 21 a 22   =  a 11 a 12  .

a 31 a 32 a 31 a 32

5.4. Invers Matriks 247

Operasi elementer kedua, yaitu mengalikan sebuah baris, katakanlah baris 2, de- ngan sebuah skalar k bisa dilakukan sebagai berikut:

Terakhir, untuk menambahkan baris ketiga k dikalikan baris kedua, kita bisa me- lakukannya sebagai berikut

00 1 a 31 a 32 a 31 a 32 Sehingga, untuk memperoleh efek operasi elementer pada matriks A, kita perlu

melakukan operasi elementer pada matriks identitas untuk memperoleh matriks ele- menter yang diperlukan. Kemudian kalikan A dengan matriks elementer.

Invers Matriks Elementer Karena matriks elementer diperoleh dari operasi elementer pada matriks identitas,

inversnya secara sederhana merepresentasikan operasi sebaliknya. Sebagai contoh E 1 diperoleh dengan menukar baris 1 dan baris 2 dari matriks identitas I

E 1 −1 merepresentasikan penukaran baris 1 dan baris 2 dari E 1 . Sehingga E −1 1 juga diberikan oleh

E −1 =  1  100  =E 1 . 001

Invers dua buah matriks elementer lainnya bisa diperoleh dengan cara yang sama, yaitu

  0 k 0 , E 2 =  0 1/k 0 ,

E 3 =  01 k 

, E  −1 3 =

  01 −k .

5. Aljabar Matriks

Dapat juga mudah ditunjukkan dari operasi elementer berulang

5.4.4 Invers Matriks dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Untuk sebuah matriks yang ordenya besar, aturan Cramer sulit digunakan. Salah satu yang paling sering digunakan untuk mencari invers matriks besar adalah metode Gauss-Jordan.

Persamaan (5.23) bisa dituliskan sebagai 

a 11 a 12 ··· a 1n

x 1 1000

 a 21 a 22 ··· a 2n   x 2   0100          d 2  

atau secara simbolik sebagai

(5.29) Jika kedua ruas persamaan ini dilakukan operasi yang sama, persamaannya akan tetap

(A)(x) = (I)(d).

berlaku. Kita akan mengoperasikannya dengan prosedur Gauss-Jordan. Tiap langkah berupa operasi baris elementer yang bisa dianggap sebagai perkalian dari kiri kedua ruas dengan matriks elementer yang merepresentasikan operasi tersebut. Sehingga proses Gauss-Jordan keseluruhan ekivalen dengan mengalikan (5.29) dengan sebuah matriks B yang merupakan perkalian semua matriks elementer yang merepresentasikan langkah prosedur Gauss-Jordan

(5.30) Karena proses ini mereduksi matriks koefisien A menjadi matriks identitas I, maka

(B)(A)(x) = (B)(I)(d).

BA = I.

Kalikan kedua ruas dengan A −1 dari kanan

BAA −1 = IA −1 ,

5.4. Invers Matriks 249

kita mempunyai

B=A −1 .

Sehingga ketika ruas kiri (5.30) menjadi matriks satuan dikalikan matriks kolom x, ruas kanan persamaan harus sama dengan matriks inversnya dikalikan d.

Sehingga jika kita ingin mencari invers dari A, pertama kita bisa menambah A dengan matriks identitas I, kemudian gunakan operasi elementer untuk mentransfor- masikan matriks ini. Ketika sub matriks A berbentuk I, bentuk yang diasumsikan matriks identitas awal haruslah A −1 .

Kita telah memperoleh invers

 −3 1 −1 A=   15 −6 5  

pada Contoh 5.4.1 dengan aturan Cramer. Sekarang marilah kita kerjakan soal yang sama dengan eliminasi Gauss-Jordan. Pertama kita tambah matriksnya dengan ma- triks identitas I

Bagi baris pertama dengan −3, baris kedua dengan 15 dan baris ketiga dengan −5

biarkan baris pertama seperti itu, kurangkan baris pertama dengan baris kedua, le- takkan pada baris kedua, dan kurangkan baris pertama dengan baris ketiga, letakkan pada baris ketiga

kalikan baris kedua dan ketiga dengan −15

biarkan baris kedua seperti adanya, kurangkan dengan baris ketiga dan letakkan hasil- nya pada baris ketiga, kemudian tambahkan 1/3 pada baris kedua dan letakkan pada baris pertama

5. Aljabar Matriks

kalikan baris ketiga dengan −1 dan kurangkan 1/3 dari baris pertama

Terakhir kita telah mengubah matriks A menjadi matriks satuan I, matriks satuan awalnya pada ruas kanan tentu telah berubah menjadi A−1, maka

yang sama dengan (5.27) yang diperoleh pada Subbab 5.3. Cara ini yang digunakan dalam komputer untuk perhitungan numerik. Kode kom-

puter untuk metode eliminasi Gauss-Jordan bisa dilihat pada W.H. Press, B.P. Flan- nery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling, Numerical Recipes,2nd edn. (Cambridge University Press, Cambridge 1992).