Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik

6.5 Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik

6.5.1 Definisi

Matriks Riil Jika A ∗ = A maka a ij =a ∗ ij . Karena tiap elemen matriks riil, maka matriks ini

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 287

dinamakan matriks riil.

Matriks Imajiner Jika A ∗ = −A, hal ini mengimplikasikan bahwa a ij = −a ∗ ij . Tiap elemen matriks ini imajiner atau nol, sehingga dikatakan matriks imajiner.

Matriks Hermitian Sebuah matriks persegi dikatakan hermitian jika A † = A. Mudah untuk dibuktikan bahwa elemen sebuah matriks hermitian memenuhi hubungan a ∗ ij =a ji . Matriks hermitian sangat penting dalam mekanika (fisika) kuantum.

Matriks Simetrik Jika semua elemen matriks riil, maka matriks hermitian hanyalah matriks simetrik. Matriks simetrik sangatlah berguna dalam fisika klasik.

Matriks Antihermitian dan Matriks Antisimetrik Sebuah matriks dinamakan anti hermitian atau skew-hermitian jika

(6.33) yang mengimplikasikan a ∗ ij = −a ji .

A † = −A,

Jika elemen semua matriks anti hermitian semuanya riil, maka matriks ini hanyalah matriks anti simetrik.

6.5.2 Nilai Eigen Matriks Hermitian

• Nilai eigen sebuah matriks hermitian (matriks simetrik riil) semuanya riil.

Misalkan A adalah matriks hermitian dan x adalah vektor eigen non trivial untuk nilai eigen λ yang memenuhi persamaan

(6.34) Ambil konjugasi hermitian dari persamaan di atas

Ax = λx.

(6.35) Perhatikan bahwa λ hanyalah sebuah bilangan (riil maupun kompleks) sehingga kon-

x † A † =λ ∗ x † .

jugat hermitiannya tidak lain adalah konjugat kompleksnya. Karena hanya sebuah bilangan, maka tidak menjadi masalah untuk mengalikan dari kanan ataupun kiri.

6. Nilai Eigen Matriks

Kalikan (6.34) dengan x † dari kiri

x † Ax = λx † x.

Kalikan (6.35) dengan x dari kanan

x † A † x=λ ∗ x † x.

Kurangkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya

(λ − λ ∗ )x † x=x † A−A † x,

tetapi A hermitian A = A † sehingga

(λ − λ ∗ )x † x = 0,

karena x † x 6= 0, maka λ = λ ∗ dan λ riil. Untuk matriks riil simetrik pembuktiannya juga identik, karena untuk matriks riil,

matriks hermitian adalah matriks riil simetrik.

• Jika dua buah nilai eigen matriks hermitian (matriks riil simetrik) berbeda, maka vektor eigennya ortogonal.

Misalkan

Ax 1 =λ 1 x 1 , Ax 2 =λ 2 x 2 .

Kalikan persamaan pertama dengan x † 2 dari kiri x † 2 Ax 1 =λ 1 x † 2 x 1 .

Ambil konjugasi hermitian persamaan kedua dan kalikan dengan x 1 dari kanan

x † 2 Ax 1 =λ 2 x † 2 x 1 ,

kita telah menggunakan (Ax 2 ) † =x † 2 A † ,A † = A dan λ 2 =λ ∗ 2 . Dengan mengurangkan dua buah persamaan kita mempunyai

(λ 1 −λ 2 )x † 2 x 1 = 0.

Karena λ 1 6= λ 2 , maka

x † 2 x 1 = 0.

Maka x 1 dan x 2 ortogonal. Pembuktian untuk matriks riil simetrik juga sama.

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 289

6.5.3 Pendiagonalan Matriks Hermitian

• Sebuah matriks hermitian (atau riil simetrik) bisa didiagonalkan dengan matriks uniter (ortogonal riil).

Jika nilai eigen sebuah matriks semuanya berbeda, maka matriks tersebut bisa didiagonalkan dengan menggunakan transformasi similaritas seperti yang sudah kita bicarakan sebelumnya. Di sini kita hanya perlu menunjukkan bahwa meskipun nilai eigennya berdegenerasi, sepanjang matriksnya hermitian, maka matriks tersebut bisa didiagonalkan. Kita akan membuktikan dengan membangun sebuah matriks uniter yang akan mendiagonalkan sebuah matriks uniter berdegenerasi.

Misalkan λ 1 merupakan nilai eigen berulang dari matriks hermitian H orde n × n, kemudian misalkan x 1 adalah vektor eigen untuk nilai eigen λ 1 . Kita bisa mengambil vektor bebas linier n sebarang dengan kondisi hanya yang pertama x 1 dan dengan pro- ses Gram-Schmidt membentuk sebuah himpunan ortonormal untuk vektor sejumlah n yaitu x 1 ,x 2 ,...,x n , masing-masing memiliki elemen sebanyak n.

Misalkan U 1 adalah matriks dengan x i sebagai kolom ke−i

seperti yang sudah kita tunjukkan bahwa hal ini mebuat U 1 sebuah matriks uniter. Transformasi uniter U † 1 HU 1 memiliki nilai eigen yang sama persis dengan H, karena matriks tersebut memiliki polinomial karakteristik yang sama

1 (H − λI)U 1

1 1 | = |(H − λI)| . Selanjutnya karena H hermitian U † 1 HU 1 juga hermitian karena

1 =U 1 H U 1 =U 1 HU 1 . Sekarang

1 HU 1 = (HU 1 ) † U †

x 11 x 21 ··· x n1 

x 11 x 12 ··· x 1n

x n2 22  2n   22 ···  U 1 HU 1 = 

x  ∗ 21 x ∗

··· x ∗   x 12 x

x 1n x 2n ··· x nn 

x ∗ n1 x ∗ n2 ··· x nn ∗

λ 1 x 11 h 12 ··· h n1  x

x ∗ 11 x 12 ··· x ∗ 1n

x ∗ 22 ··· x ∗    2n   λ 1 x 12 h 22 ··· h n2   = 

n1

x n2 ··· x nn

λ 1 x 1n h 2n ··· h nn

6. Nilai Eigen Matriks

dengan kenyatan bahwa x 1 adalah vektor eigen dari H untuk nilai eigen λ 1

dan menuliskan

untuk i 6= 1. Selanjutnya 

Kolom pertama ditentukan oleh kondisi ortonormal

x 11   x 12  

jika i = 1,

jika i 6= 1.

x 1n

Baris pertama haruslah transpos dari kolom pertama karena U † 1 HU 1 adalah ma- triks hermitian (atau riil simetrik) dan λ 1 riil dan kompleks konjugat dari nol adalah dirinya sendiri. Fakta krusial dari proses ini adalah elemen ke n − 1 terakhir dari baris pertama adalah semuanya nol. Hal ini yang membedakan matriks hermitian (atau riil simetrik) dengan matriks persegi lainnya.

Jika λ 1 nilai eigen H berdegenerasi 2, maka dalam polinomial karakteristik p(λ) =

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 291

|H − λI| terdapat faktor (λ 1 − λ) 2 . Karena

p(λ) = |H − λI| =

··· α nn −λ suku

harus memiliki faktor (λ 1 − λ). Dengan kata lain jika kita mendefinisikan H 1 sebagai submatriks (n − 1) × (n − 1)

maka λ 1 haruslah merupakan nilai eigen dari H 1 . Sehingga kita bisa mengulangi proses ini dan membentuk himpunan ortonormal dari sejumlah n − 1 vektor kolom dengan yang pertama adalah vektor eigen H 1 untuk nilai eigen λ 1 . Misalkan himpunan ortonormal ini

 ,...,y n−1 = 

y nn dan U 2 adalah matriks uniter lain yang didefinisikan

y 2n

y 3n

···  0 y 22 y 32 ··· y n2 

U 2 =  0 y 23 y 33 ··· y n3    

0 y 2n y 3n ··· y nn

6. Nilai Eigen Matriks

transformasi uniter U †

2 U 1 HU 1 U 2 bisa dituliskan sebagai

Jika λ 1 berdegenerasi sebanyak m buah, kita bisa mengulang proses ini m kali. Sisa- nya bisa didiagonalkan dengan vektor eigen untuk nilai eigen yang berbeda. Setelah matriks n × n ditransformasikan n − 1 kali, matriksnya menjadi diagonal.

Marilah kita definisikan

U=U 1 U 2 ···U n−1 ,

maka U adalah matriks uniter karena semua U i uniter. Dari sini, matriks hermitian

H didiagonalkan dengan transformasi uinter U † HU dan teormanya telah dibuktikan. Konstruksi ini membawa kita kepada akibat wajar yang sangat penting

• Setiap matriks hermitian (atau riil simetrik) n × n memiliki sejumlah n vektor eigen ortogonal tanpa memandang jumlah degenerasi nilai eigen.

Hal ini karena U † HU = Λ dengan elemen matriks diagonal Λ adalah nilai eigen dari H. Karena U † =U −1 , maka dari persamaan U (U † HU ) = U Λ yaitu HU = U Λ, yang menunjukkan bahwa tiap kolom dari U adalah vektor eigen ternormalisasi dari

H. Contoh berikut mengilustrasikan bagaimana prosedur ini bekerja.

Contoh 6.5.1. Carilah matriks uniter yang mendiagonalkan matriks hermitian

2 i 1 H=   −i 2 i  .

1 −i 2

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 293

Solusi 6.5.1. Nilai eigen H adalah akar dari polinomial karakteristik 2−λ

p(λ) =

3 −i 2 2−λ i + 6λ = −λ 2 − 9λ = −λ(λ − 3) = 0.

1 −i

Maka nilai eigennya adalah

Jelas terlihat di sini λ = λ 1 =λ 2 = 3 yaitu berdegenerasi 2. Misalkan satu vektor eigen untuk λ 1 adalah

Tiga buah persamaan

−x 1 + ix 2 +x 3 = 0, −ix 1 −x 2 + ix 3 = 0, x 1 − ix 2 −x 3 =0

adalah identik satu sama lain. Sebagai contoh jika kita mengalikan persamaan kedua dengan i kita akan memperoleh persamaan ketiga (persamaan kedua dibisakan dari persamaan pertama dikalikan i). Persamaan

x 1 − ix 2 −x 3 =0

(6.36) memiliki solusi yang tak hingga. Pilihan sederhana adalah x 2 = 0 sehingga x 1 =x 3 .

Maka

merupakan sebuah vektor eigen. Tentu

2 = ,E  1   ,E 3 =    0 

6. Nilai Eigen Matriks

bebas linier. Sekarang marilah kita gunakan proses Gram-Schmidt untuk memperoleh

himpunan ortonormal x 1 ,x 2 ,x 3  

2  0 kE , 1

E 2 sudah ternormalisasi dan tegak lurus dengan E 1 dan tentunya x 1

x 2 =E 2 =    1 ,

kemudian x ′ 3 bisa dihitung yaitu

−1 Membentuk sebuah matriks uniter dengan x 1 ,x 2 ,x 3

2 2 Transformasi similaritas uniter H oleh U 1 adalah

√ √   −i 2 i   0 1 0     √

U † HU 1 =   0 1 0  

2 2  −i 2  1 √ 2 2 0 

3 0 0 √ =   0 2 − 2i  .

0 2i

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 295

Karena H dan U † HU 1 memiliki himpunan nilai eigen yang sama, maka λ = 3 dan λ = 0 haruslah merupakan nilai eigen dari submatriks

2 − 2i

2i

Hal ini juga bisa ditunjukkan secara langsung. Dua buah vektor eigen H 1 berkaitan dengan λ = 3 dan λ = 0 bisa dicari berturut-turut adalah

Dapat dengan mudah dihitung bahwa

000 yang juga merupakan matriks diagonal dan elemen diagonalnya adalah nilai eigen.

Selanjutnya tiga buah kolom dari U adalah tiga buah vektor eigen H yang saling

6. Nilai Eigen Matriks

Kita telah mengikuti langkah pembuktian untuk mengilustrasikan prosedur. Ke- tika sudah mapan, kita bisa menggunakan teorema dan proses mencari vektor eigen bisa lebih disederhanakan.

Dalam contoh ini kita bisa mencari vektor eigen untuk nilai eigen tak berdegenerasi dengan cara biasa. Untuk nilai eigen berdegenerasi λ = 3, komponen vektor eigennya (x 1 ,x 2 ,x 3 ) harus memenuhi

x 1 − ix 2 −x 3 = 0,

seperti ditunjukkan pada (6.36). Persamaan ini bisa dituliskan sebagai x 2 = i(x 3 −x 1 ), sehingga secara umum

u= 

  i(x 3 −x 1 ) ,

dengan x 1 dan x 3 sebarang. Terlihat bahwa pemilihan x 1 =x 3 ,u 1 adalah vektor veigen ternormalisasi

vektor eigen yang lain harus memenuhi persamaan yang sama dan ortogonal terhadap u 1 . Sehingga

  i(x 3 −x 1 )  = 0,

  x 1 yang memberikan x 1 +x 3 = 0 atau x 3 = −x 1 . Dengan normalisasi vektor   −2x 1  ,

−x 1

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 297

kita memperoleh vektor eigen lain untuk λ = 3

6  −2i .

6.5.4 Diagonalisasi Simultan

Jika A dan B adalah dua buah matriks hermitian dengan orde yang sama, sebuah pertanyaan penting muncul dari sini. Apakah matriks ini bisa didiagonalkan secara simultan dengan sebuah matriks S? Atau dengan kata lain, apakah terdapat sebu-

ah basis sehingga keduanya diagonal? Jawabannya adalah iya, jika matriks tersebut komut.

Pertama kita akan menunjukkan bahwa keduanya bisa didiagonalkan simultan dan kemudian menunjukkan bahwa keduanya komut. Yaitu, jika

D 1 =S −1 AS dan D 2 =S −1 BS, dengan D 1 dan D 2 adalah matriks diagonal, sehingga AB = BA.

Hal ini berasal dari

D 1 D 2 =S −1 ASS −1 BS = S −1 ABS,

D 2 D 1 =S −1 BSS −1 AS = S −1 BAS.

Karena matriks diagonal dengan orde sama selalu komut (D 1 D 2 =D 2 D 1 ), kita mem- punyai

S −1 ABS = S −1 BAS.

Dengan mengalikan S dari kiri dan S −1 dari kanan, kita mempunyai AB = BA. Sekarang kita akan membuktikan bahwa kebalikannya juga benar. Dalam artian

jika keduanya komut, maka keduanya bisa didiagonalkan simultan. Pertama, misalkan

A dan B adalah matriks 2 × 2. Karena matriks hermitian selalu bisa didiagonalkan, misalkan S adalah matriks uniter yang mendiagonalkan A

S −1

AS =

dengan λ 1 dan λ 2 adalah nilai eigen dari A. Misalkan

S −1 BS =

b 11 b 12

b 21 b 22

6. Nilai Eigen Matriks

b 21 b 22 0 λ 2 b 21 λ 1 b 22 λ 2 Karena AB = BA maka S −1 ABS = S −1 BAS

b 11 λ 1 b 12 λ 1 b 11 λ 1 b 12 λ 2

b 21 λ 2 b 22 λ 2 b 21 λ 1 b 22 λ 2

Dari sini kita memperoleh

b 21 λ 2 =b 21 λ 1 , dan b 12 λ 1 =b 12 λ 2 . Jika λ 1 6= λ 2 , maka b 12 =b 21 = 0. Dengan kata lain

Dengan kata lain A dan B terdiagonalkan secara simultan. Jika λ 1 =λ 2 = λ, kita tidak bisa menarik kesimpulan S −1 BS diagonal. Dalam

kasus ini

S AS =

Selanjutnya karena B hermitian, maka transformasi similaritas S −1 BS juga hermi- tian, sehingga S −1 BS bisa didiagonalkan. Misalkan T adalah matriks uniter yang mendiagonalkan S −1 BS

T (S BS)T =

Di lain pihak

T −1 (S −1 AS)T = T −1

T=

T −1 T= .

0 λ Sehingga perkalian matriks U = ST mendiagonalkan A dan B. Sehingga tanpa atau

dengan degenerasi, sepanjang A dann B komut, maka keduanya bisa didiagonalkan simultan.

Meskipun kita hanya menggunakan matriks 2 × 2, “bukti” yang sama bisa dengan mudah digunakan untuk matriks dengan orde lebih tinggi.

6.5. Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik 299

Contoh 6.5.2. Misalkan

Apakah A dan B bisa didiagonalkan secara simultan? Jika bisa, carilah matriks uniter U yang bisa mendiagonalkannya! Solusi 6.5.2.

Maka [A, B] = 0, sehingga keduanya bisa didiagonalkan simultan

Vektor eigen ternormalisasinya untuk λ = 1 dan λ = 3 berturut-turut

05 Sehingga keduanya terdiagonalkan simultan. Hal ini juga menunjukkan bahwa 1 dan

5 merupakan nilai eigen dari matriks B. Hal ini bisa dengan mudah diverifikasi karena

Jika kita mendiagonalkan B terlebih dahulu, kita akan memperoleh hasil yang benar- benar sama.

6. Nilai Eigen Matriks