Penyatuan Aljabar dan Geometri

1.5.2 Bidang Kompleks

Penerimaan bilangan kompleks sebagai anggota yang bisa dipercaya dari sistem bi- langan kita terbantu sekali oleh realisasi bahwa bilangan kompleks bisa diberikan oleh interpretasi geometrik yang sederhana. Dalam sistem koordinat dua dimensi Cartesi- an, sebuah titik dinyatakan dengan komponen x dan y. Jika kita menginterpretasikan sumbu x dan y sebagai sumbu riil dan imajiner, maka bilangan kompleks z = x + iy direpresentasikan oleh titik (x, y). Posisi horizontal titik tersebut adalah x, posisi ver- tikalnya adalah y, seperti pada Gambar 1.1. Kita bisa menjumlahkan dan mengurangi bilangan kompleks secara terpisah yaitu menjumlahkan atau mengurangi komponen ri- il dan imajinernya. Ketika kita berpikir dengan cara ini, bidangnya dinamakan bidang kompleks atau bidang Argand.

Representasi grafik ini diusulkan secara terpisah sekitar tahun 1880 oleh Wessel dari Norwegia, Argand dari Perancis dan Gauss. Publikasi oleh Wessel dan Argand tidak terperhatikan, tetapi reputasi Gauss meyakinkan diseminasi secara luas dan penerimaan bilangan kompleks sebagai titik pada bidang kompleks.

Pada saat interpretasi ini diusulkan, rumus Euler (1.2) sudah dikenal selama 50 tahun. Ini mungkin memainkan peranan sebagai petunjuk utama usul ini. Interp- retasi geometrik bilangan kompleks jelas konsisten dengan rumus Euler. Kita bisa menurunkan rumus Euler dengan menyatakan e iθ sebagai titik pada bidang kompleks.

Karena bilangan kompleks paling umum memiliki bentuk suku riil ditambah suku imajiner, marilah kita nyatakan e iθ sebagai

e iθ = a(θ) + ib(θ).

1.5. Penyatuan Aljabar dan Geometri

Perhatikan bahwa suku riil a dan suku imajiner b haruslah berupa fungsi dari θ. Di sini θ adalah bilangan riil. Mengubah i dengan −i, pada dua ruas persamaan ini, kita memperoleh konjugasi kompleks

e -1θ = a(θ) − ib(θ).

Karena

e iθ e −iθ =e iθ−iθ =e 0 =1

diperoleh

e iθ e −iθ = (a + ib)(a − ib) = a 2 +b 2 = 1. Selanjutnya

dengan menyamakan suku riil dengan suku riil dan suku imajiner dengan suku imajiner pada dua buah persamaan terakhir, kita mempunyai

Sekarang misalkan a(θ) merepresentasikan absis (koordinat−x) dan b(θ) merepresen- tasikan ordinat (koordinat−y) sebuah titik pada bidang kompleks seperti pada Gam- bar 1.2. Misalkan α adalah sudut antara sumbu−x dan vektor dari titik asal sampai titik yang ditinjau. Karena panjang vektor ini diberikan oleh teorema Pythagorean

r 2 =a 2 +b 2 = 1,

jelaslah a(θ)

b(θ) cos α

b(θ)

= a(θ), sin α =

= b(θ), tan α = . (1.17)

1 1 a(θ) Sekarang

a 2 dθ tetapi

dθ

dα aθ

cos 2 α dθ

d tan α

d b b ′ a−a ′ b 1

dθ

dθ a a 2

1. Bilangan Kompleks

Gambar 1.2: Diagram Argand sebuah bilangan kompleks z = e i θ = a + ib. Jarak antara titik asal dengan titik (a, b) haruslah 1.

Jelaslah dari dua persamaan

dα = 1. dθ

Dengan kata lain

α = θ + c.

Untuk menentukan konstanta c, marilah kita lihat kasus θ = 0. Karena e i0 = 1 = a+ib berarti a = 1 dan b = 0, dalam kasus ini jelaslah dari diagram bahwa α = 0. Sehingga

c haruslah sama dengan nol, jadi

Dari (1.17) diperoleh:

α(θ) = cos α = cos θ, b(θ) = sin α = sin θ.

Jika kita masukkan lagi pada (1.16), kita peroleh kembali

e iθ = cos θ + i sin θ.

Perhatikan bahwa kita telah menurunkan rumus Euler tanpa ekspansi deret. Sebe- lumnya kita telah menurunkan rumus ini dengan perilaku aljabar murni. Sekarang kita melihat bahwa cos θ dan sin θ adalah fungsi sinus dan cosinus yang secara alami didefinisikan dalam geometri. Hai ini adalah penyatuan antara aljabar dan geometri.

Diperlukan 250 tahun untuk matematikawan agar nyaman dengan bilangan kom- pleks. Ketika sudah diterima penuh, teori yang lebih tinggi tentang variabel kompleks

1.6. Bentuk Polar Bilangan Kompleks

lebih cepat dibuat. Dalam waktu relatif pendek 40 tahun, Augustin Louis Cauchy (1789 − 1857) dari Perancis dan Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 − 1866) membangun teori yang indah tentang fungsi kompleks, yang akan kita pelajari dalam Bab 2.

Dalam bab pendahuluan ini, kita telah menyajikan beberapa hal bahwa struktur logika dalam matematika sebagai sesuatu yang menarik sama dengan pemikiran ma- nusia yang lain. Sekarang kita harus meninggalkan sejarah karena ruang kita terbatas.