BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 1 Proses Stokastik
Proses stokastik ,
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke suatu ruang state S. Ross 1996
Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks , adalah suatu peubah
acak. Setiap t pada himpunan indeks juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan
sebagai state keadaan dari proses pada waktu t. Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika
himpunan indeks adalah himpunan tercacah, sedangkan disebut proses
stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval.
Definisi 2 Inkremen Bebas
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu ,
disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua
, peubah acak ,
, … , adalah bebas.
Ross 1996 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut
memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas.
Definisi 3 Inkremen Stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu ,
disebut memiliki inkremen stasioner jika
memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.
Ross 1996 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran distribusi dari perubahan nilai antara
sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.
Definisi 4 Proses Pencacahan
Suatu proses stokastik ,
disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.
Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut:
i untuk semua
, ∞ . ii
Nilai adalah integer.
iii Jika
maka ,
, , ∞ .
iv Untuk
maka , sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang , .
Ross 1996
Definisi 5 Proses Poisson
Suatu proses pencacahan ,
disebut proses Poisson dengan laju , , jika dipenuhi tiga syarat berikut:
i .
ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
iii Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran distribusi Poisson dengan nilai harapan .
Jadi untuk semua ,
, ,
, , , … Ross 1996
Dari syarat iii dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua
waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu,
, maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini,
disebut fungsi intensitas dari proses tersebut.
Definisi 6 Fungsi Periodik
Suatu fungsi disebut periodik jika untuk semua
dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di
atas disebut periode dari fungsi tersebut. Browder 1996
Definisi 7 Proses Poisson Periodik
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik