BAB 3 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK UNTUK KASUS a DIKETAHUI
3.1 Perumusan
, ,
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik siklik
dengan periode diketahui dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi
pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ kita dapat menuliskan
fungsi intensitas sebagai berikut ,
dan , dengan
adalah fungsi periodik dengan periode dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai b dan adalah
diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari ,
kecuali bahwa adalah periodik dengan persamaan:
, berlaku untuk setiap
, ∞ dan .
Misalkan untuk suatu Ω, hanya terdapat sebuah realisasi
dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
Ω, , P dengan fungsi intensitas seperti pada 1 yang diamati pada interval terbatas
, , ∞ .
Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah
menduga pada titik s dengan
dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan
, . Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari
lihat Definisi 33 pada Lampiran. Pada bahasan ini dikaji dua kasus, yaitu pertama diasumsikan bahwa
kemiringan a diketahui sedangkan fungsi pada
, tidak diketahui. Kedua diasumsikan fungsi intensitas global bagi
yang merupakan nilai rata-rata dari
pada , yaitu
diketahui, sedangkan kemiringan a dan fungsi
pada , ∞ tidak diketahui.
Misalkan adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen
menuju nol, yaitu untuk
∞ dan misalkan : adalah suatu fungsi bernilai real, disebut
kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut: K.1 K merupakan fungsi kepekatan peluang.
K.2 K terbatas. K.3 K memiliki daerah definisi pada
, . Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga dari
pada titik , sebagai berikut:
, , ,
,
, dengan
,
∑ dan
. Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel
, ,
dari dapat dijelaskan
seperti berikut: Dari 1 dan 2, untuk setiap titik s dan
maka .
Dengan pemisalan seperti pada 5 maka 6 dapat dituliskan
,
, ,
. Nilai fungsi
di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar s, yaitu pada interval
, serta dengan
menggunakan 3 maka 7 dapat ditulis
, , ,
E ,
,
. Dengan mengganti
E ,
dengan padanan stokastiknya yaitu
, maka 8 dapat ditulis
, , ,
,
,
,
I
,
,
, ,
,
, dimana
I
,
. Agar penduga yang diperoleh lebih umum maka digunakan fungsi kernel umum K.
3.2 Sifat-sifat Statistik
