Dengan menyubstitusikan 40 dan 47 ke persamaan 30, maka diperoleh Var
, ,
untuk ∞. Nilai dari
untuk ∞ maka ruas kanan 48 menjadi
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 2 terbukti.
3.3 Sebaran Asimtotik
, ,
Teorema 3 Sebaran Normal Asimtotik
, ,
Misalkan fungsi intensitas seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3,
terbatas di sekitar s, ∞,
untuk ∞ dan memiliki turunan ke dua yang terbatas di sekitar s.
i Jika maka
, ,
Normal , untuk
∞, dengan .
ii Jika
maka
, ,
Normal , untuk
∞,
dengan
dan .
Bukti:
Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri 50 dan 51 sebagai berikut:
, , , ,
E
, ,
E
, ,
. Sehingga untuk membuktikan Teorema 3, cukup dibuktikan
, ,
E
, ,
Normal , untuk
∞, dan jika maka
E
, ,
untuk ∞, jika
maka E
, ,
. untuk
∞. Pertama dibuktikan bentuk 52 di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri 52
dapat ditulis Var
, , , ,
E
, ,
Var
, ,
.
Untuk membuktikan bentuk 55 konvergen ke ruas kanan 52 dapat diterapkan Teorema Limit Pusat CLT pada Lema 15. Misalkan:
. Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari
adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak
adalah E
E E
. Dengan penggantian peubah, misalkan:
, . Sehingga
suku pertama 57 dapat ditulis .
Karena fungsi intensitas memenuhi 1 persamaan di atas menjadi
.
Karena K memenuhi K.2 suku pertama 58 dapat ditulis
| |
I ,
Karena s adalah titik Lebesgue dari dan dengan penggantian peubah, misal: ,
maka persamaan di atas menjadi I
, I
, .
Karena K memenuhi K.1 dan terbatas di sekitar s maka persamaan di atas menjadi
untuk ∞.
Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan 58. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis
. Dengan penggantian peubah, misal:
, maka persamaan di atas
menjadi I
,
I ,
I ,
Karena K memenuhi K.1 dan untuk
∞, persamaan di atas menjadi
. Dengan demikian ruas kanan persamaan 58 menjadi
. Dengan menyubstitusikan ruas kanan persamaan 59 ke suku pertama ruas kanan
56 diperoleh E
untuk ∞.
Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan pemisalan
seperti pada 56 dan karena suku kedua adalah deterministik maka
Var Var
Var .
Untuk nilai n yang besar dan , interval
, dan
, tidak overlap sehingga untuk semua
, dan
adalah bebas. Dengan demikian persamaan di atas menjadi
Var .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var
E sehingga 60 menjadi
E .
Dengan penggantian peubah, misal: ,
diperoleh
. Karena fungsi intensitas memenuhi 1 maka
. Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan 61. Karena
terbatas di sekitar s, dan dengan penggantian peubah, misal:
, diperoleh
I ,
. Karena K memenuhi K.3 maka
I ,
untuk ∞.
Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan 61. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis
. Dengan penggantian peubah, misal:
, dan karena K memenuhi
K.3 diperoleh I
, I
, I
, I
, .
Dengan demikian diperoleh nilai dari ruas kanan persamaan 61 yang merupakan nilai dari
Var yaitu
Var I
, I
, .
Misalkan ∑
Var sehingga diperoleh
I ,
I ,
. Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan 63, dibedakan dalam tiga kasus,
yaitu untuk ,
dan . Untuk
dapat diperhatikan bahwa kuantitas dari
∑ I
, sama dengan ruas
kanan persamaan 46, dan kuantitas dari ∑
sama dengan ruas kanan persamaan 34. Dengan demikian persamaan 63 menjadi
untuk ∞. Selanjutnya dengan pemisalan
seperti pada 56 diperoleh E
E
E
E .
Karena suku kedua adalah deterministik maka persamaan di atas menjadi
E E
E E
E E
E E
. Karena N adalah proses Poisson maka
E
E E
E
E .
Dapat diperhatikan bahwa Var
E .
Dengan demikian persamaan 64 menjadi
Var .
Selanjutnya dapat diperhatikan suku pertama 65. Karena K memenuhi K.2 dan Var seperti pada ruas kanan 62 diperoleh
Var
I ,
I ,
. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
Karena untuk
∞ maka persamaan di atas menjadi
. Dengan demikian diperoleh
I ,
. Dengan menyubstitusikan 67 ke ruas kanan 66 diperoleh
. Karena
∞ untuk ∞, persamaan di atas yang merupakan suku
pertama 65 dapat ditulis menjadi
. Selanjutnya suku kedua 65 dapat diuraikan sebagai berikut. Karena K memenuhi
K.2 dan Var seperti pada ruas kanan 62 maka
I ,
I ,
I ,
I ,
.
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
Karena untuk
∞ persamaan di atas menjadi
. Dengan demikian diperoleh
I ,
. Dengan menyubstitusikan 70 ke persamaan 69 yang merupakan suku kedua
persamaan 65 maka diperoleh I
,
. Dengan menyubstitusikan 68 dan 71 ke ruas kanan 65 diperoleh
E E
. Karena
untuk ∞ persamaan di atas menjadi
. Dengan demikian barisan
merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k.
Sehingga penduga
, ,
merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu
, , ,
yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var ,
maka diperoleh
, ,
E
, ,
Var
, ,
Normal ,
untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan 52 tinggal membuktikan
Var
, ,
. untuk
∞. Dengan menyubstitusikan 25 ke ruas kiri 72 diperoleh
Var
, ,
. untuk
∞. Misalkan dan
√ , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
untuk ∞. Sehingga diperoleh
Var
, ,
untuk ∞.
Dengan cara yang sama diperoleh hasil yang sama untuk dan
. Dengan demikian 52 terbukti.
Untuk membuktikan 53 dan 54 dapat digunakan Teorema 1 sehingga diperoleh
E
, ,
. Karena
untuk ∞, persamaan 74 menjadi
untuk ∞ sehingga 53 terbukti. Karena
untuk ∞,
persamaan 74 menjadi
untuk ∞ sehingga 54 terbukti. Dengan demikian Teorema 3 terbukti.
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK UNTUK KASUS a TIDAK DIKETAHUI
4.1 Pendugaan a
