BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK UNTUK KASUS a TIDAK DIKETAHUI
4.1 Pendugaan a
Pada kasus kedua diasumsikan bahwa a tidak diketahui tetapi diketahui. Dari kondisi ini, sebelum merumuskan suatu penduga bagi
perlu diformulasikan terlebih dahulu penduga dari a yang konsisten. Penduga dari a
adalah:
,
, .
Sehingga penduga dari untuk kasus kedua ini dapat diformulasikan seperti pada
4 dengan mengganti nilai a pada persamaan tersebut dengan
,
. Untuk mendapatkan penduga
,
cukup diperhatikan bahwa E
, ,
karena memenuhi 1 maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
. Dapat diperhatikan suku pertama 76, dengan menggunakan asumsi bahwa
adalah fungsi intensitas global dari maka
. Sedangkan suku kedua dari 76 adalah
. Dengan mengganti E ,
dengan padanan stokastiknya yaitu ,
maka diperoleh ,
. Jika kedua ruas dikalikan dengan
, diperoleh ,
atau ,
. Sehingga diperoleh penduga dari a yaitu
,
seperti pada 75.
Lema 1
Misalkan fungsi intensitas seperti 1 dan terintegralkan lokal, maka E
,
Var
,
untuk ∞, dengan
. Dengan kata lain
,
merupakan penduga yang konsisten bagi a, dengan Mean Square Error-nya adalah
,
untuk ∞.
Bukti:
Berdasarkan 75, E
,
dapat dihitung sebagai berikut: E
,
E ,
E ,
untuk ∞. Suku pertama dari 80 adalah
E ,
Seperti yang telah dilakukan pada pendugaan a, maka nilai dari , sehingga persamaan di atas dapat ditulis
. Dengan menyubstitusikan persamaan 81 ke 80, maka diperoleh
E
,
untuk ∞. Ragam dari
,
diperoleh dengan cara yang serupa yaitu: Var
,
Var ,
Var ,
. Karena N adalah proses Poisson, maka
Var E
sehingga persamaan di atas dapat ditulis
E ,
untuk ∞. Berdasarkan definisi dari
, maka
,
Bias
,
Var
,
dan Bias
,
E
,
, dengan menyubstitusikan 82 diperoleh Bias
,
untuk ∞. Berdasarkan 83 dan 84 maka diperoleh
,
untuk ∞. Dari 82, 83 dan 85, maka Lema 1 terbukti.
Teorema 4 Kekonsistenan
,
Penduga
,
merupakan penduga konsisten bagi a, yaitu
,
untuk ∞.
Bukti:
Untuk membuktikan 86, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa , P
,
untuk ∞. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
, ,
E
,
E
,
. Berdasarkan Lema 1 diperoleh
E
,
, berarti , ada N sehingga
E
,
, N.
Dari 88 diperoleh P
,
P
,
E
,
. Jadi untuk
membuktikan 84 cukup ditunjukkan P
,
E
,
. Dengan ketaksamaan Chebychev, diperoleh
P
,
E
,
Var
,
. Dari Lema 1 yaitu
Var
,
untuk ∞, sehingga diperoleh 87. Dengan
demikian Teorema 4 terbukti.
4.2 Perumusan
