Definisi 6 Fungsi Periodik
Suatu fungsi disebut periodik jika untuk semua
dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di
atas disebut periode dari fungsi tersebut. Browder 1996
Definisi 7 Proses Poisson Periodik
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas
lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan
rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari
suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan
, ∞
dan , menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada , , maka
fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan ,
. Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global
dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang
, . Secara matematis penduga bagi fungsi intensitas global dapat dinyatakan dengan
, .
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya
adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat nearest neighbor estimation. Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode diketahui Helmers dan Mangku 2000. Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan
metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku 1999. Ada metode lain yaitu
dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas
global pada Poisson periodik Helmers dan Mangku 2000.
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda Helmers 1995. Secara komputasi, telah
dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik Helmers dan Zitikis 1999.
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode
yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga
tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. 2003. Untuk periode
yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh
Mangku 2006a dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh Mangku 2006b.
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear Helmers dan Mangku 2009,
maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya Helmers et al. 2007. Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada
Mangku 2005. Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang
menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu 2008, sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam
telah dikaji pada Rachmawati 2008, serta pendugaan fungsi intensitas global
dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati 2008, dan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah
dikaji pada Farida 2008.
BAB 3 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
PERIODIK UNTUK KASUS a DIKETAHUI
3.1 Perumusan
