, , ,
,
,
,
I
,
,
, ,
,
, dimana
I
,
. Agar penduga yang diperoleh lebih umum maka digunakan fungsi kernel umum K.
3.2 Sifat-sifat Statistik
, ,
Teorema 1 Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga
Misalkan fungsi intensitas seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3,
, ∞
untuk ∞ maka
E
, ,
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .
Bukti:
Dari persamaan 4 dapat dimisalkan
,
,
, maka
E
, ,
E E
. Suku pertama dari 12 adalah
E
,
E
,
.
Dengan penggantian peubah, misalkan: ,
. Sehingga 13 dapat ditulis
E
,
I ,
. Karena fungsi intensitas memenuhi 1, maka diperoleh
E
,
I ,
,
I ,
,
I ,
.
Dapat diperhatikan bahwa
,
∑ , sehingga
,
.
Dengan menggunakan deret geometri persamaan di atas dapat ditulis
untuk ∞, maka suku pertama 14 dapat ditulis
,
I ,
. Selanjutnya dengan menggunakan formula Young diperoleh
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan 17 ke 16 diperoleh
′ .
Dengan penggantian peubah, misal: ,
, maka 18 menjadi ′
′
′
. Karena K adalah simetrik dan memenuhi K.1 dan K.3 maka 19 menjadi
untuk ∞. Karena
∞ maka ruas kanan persamaan di atas menjadi
untuk ∞.
Suku kedua dari 14 dapat diuraikan sebagai berikut. Dengan menggunakan deret Taylor, diperoleh
Karena untuk
∞ maka perilaku dari y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
untuk ∞. Sehingga suku kedua 14 menjadi
,
I ,
.
,
I ,
.
Dengan penggantian peubah, misal: ,
persamaan di atas menjadi
,
I ,
.
,
I ,
. Dengan
,
seperti pada 15, K adalah simetrik dan memenuhi K.1 dan K.3 maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa dengan menggunakan deret Taylor
diperoleh
. Sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
. Suku kedua dari 12 adalah deterministik, sehingga diperoleh
E E
,
,
. Dengan
,
seperti pada 15, ruas kanan 22 menjadi
untuk ∞.
Dengan menggabungkan 20, 21, dan 23 maka diperoleh E
, ,
untuk ∞. Karena
dan ∞ untuk
∞, maka suku ke- empat dan ke-lima dari persamaan di atas adalah
. Sehingga persamaan di atas menjadi
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga
Misalkan fungsi intensitas seperti 1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3,
, ∞ untuk
∞, serta terbatas di sekitar s, maka
Var
, ,
untuk ∞.
Bukti:
Dengan pemisalan seperti pada 11 dan karena adalah deterministik, maka Var
, ,
Var .
Untuk nilai n yang besar dan , interval
, dan
, tidak overlap sehingga untuk semua
, dan
adalah bebas. Sehingga Var
dapat ditentukan sebagai berikut: Var
Var
,
,
Var .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var
E sehingga 27 menjadi
,
E
,
. Dengan penggantian peubah, misal:
, , maka 28 dapat
ditulis Var
,
I ,
. Dengan menggunakan 1 dan 2 ruas kanan 29 menjadi
,
I ,
,
I ,
,
I ,
. Karena terbatas di sekitar s maka
, adalah konstanta, sehingga suku pertama ruas kanan 30 dapat ditulis
,
I ,
,
I ,
. Dengan penggantian peubah, misal:
, maka ruas kanan 31
menjadi
,
I ,
. Karena K memenuhi K.3 maka 32 dapat ditulis
,
I ,
. Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan 33, dibedakan dalam tiga kasus,
yaitu untuk ,
, dan . Untuk
dapat diperhatikan bahwa
I ,
untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari 15 dan 34,
maka kuantitas ruas kanan 33 menjadi
,
I ,
. Dengan melihat kuantitas terbesar maka persamaan di atas dapat ditulis
untuk ∞. Untuk
, dapat diperhatikan bahwa I
, ln
untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari 15 dan 36,
maka kuantitas ruas kanan 33 menjadi
,
I ,
ln
ln ln
ln ln
ln .
Dengan melihat kuantitas terbesar, persamaan di atas menjadi ln
untuk ∞. Untuk
, dapat diperhatikan bahwa
I ,
untuk ∞. Sehingga kuantitas pada ruas kanan 33 dapat ditulis
,
I ,
untuk ∞. Dengan mengambil kuantitas terbesar dari 35, 37 dan 39 dapat
diperoleh kuantitas pada 33 yang juga menyatakan kuantitas suku pertama 30, yaitu
untuk ∞. Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan 30.
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, diperoleh
Karena untuk
∞ maka perilaku y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
. Dengan menggunakan 41, suku kedua ruas kanan 30 dapat dituliskan
,
I ,
,
I ,
. Dengan penggantian peubah, misal:
, dan karena K memenuhi
K.3 maka 42 dapat ditulis
,
I ,
. Dengan menyubstitusikan 15 maka persamaan di atas menjadi
I ,
I ,
I ,
.
Dengan cara yang sama yaitu dengan melihat setiap kasus maka persamaan 43 menjadi
I ,
untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa
I ,
I ,
. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
Karena untuk
∞, maka persamaan di atas menjadi
. Dengan demikian persamaan 45 menjadi
I ,
. Dapat diingat kembali bahwa
,
∑ , sehingga
persamaan di atas dapat ditulis
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan 46 ke 44 diperoleh
untuk ∞.
Dengan menyubstitusikan 40 dan 47 ke persamaan 30, maka diperoleh Var
, ,
untuk ∞. Nilai dari
untuk ∞ maka ruas kanan 48 menjadi
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 2 terbukti.
3.3 Sebaran Asimtotik
