Ruang Vektor Ruang Vektor

B. Ruang Vektor

1. Ruang Vektor

Definisi 2.9 Ruang Vektor Ruang Vektor atas lapangan F adalah himpunan tidak kosong V yang dileng- kapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar sedemikian sehingga V ∈ ∀ z y x , , dan F ∈ ∀ β α, memenuhi syarat - syarat berikut: a. V ∈ + y x b. x y y x + = + sifat komutatif c. z y x z y x + + = + + sifat asosiatif d. Terdapat elemen V V ∈ ∀ ∈ x , , x x = + unsur identitas e. V ∈ ∀ x V ∈ − ∃ x sehingga x x = − + elemen invers f. V ∈ x α g. y x y x α α α + = + sifat distributif h. x x x β α β α + = + i. x x = 1 j. x x β α β α = Elemen – elemen di V disebut vektor dan biasanya dinyatakan dengan huruf – huruf K K , , , , , y x b a . Elemen – elemen di F disebut skalar . Contoh 2.1 Misalkan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n y y y M 2 1 y adalah vektor – vektor di n R . Penjumlahan pada n R didefinisikan sebagai berikut: n n n n n y x y x y x y y y x x x R y x y x ∈ ∀ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + , , 2 2 1 1 2 1 2 1 M M M 2.5 dan operasi perkalian dengan skalar α di R didefinisikan sebagai berikut: R R x x ∈ ∀ ∈ ∀ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α α α α α α , , 2 1 2 1 n n n x x x x x x M M 2.6 Tunjukkan bahwa n R merupakan ruang vektor. Bukti: Misalkan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n y y y M 2 1 y , dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n z z z M 2 1 z , n R z y x ∈ ∀ , , , R ∈ ∀ β α, a. Akan ditunjukkan n R y x ∈ + . Sudah jelas dari persamaan 2.5 b. Akan ditunjukkan x y y x + = + x y y x + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + n n n n n n n n x x x y y y x y x y x y y x y x y x y y y x x x M M M M M M 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 c. Akan ditunjukkan z y x + + z y x + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 n n n n n n z y x z y x z y x z y z y z y x x x M M M z y x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + = n n n z y x z y x z y x 2 2 2 1 1 1 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = n n n z z z y x y x y x M M 2 1 2 2 1 1 z y x + + = d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan. Elemen identitasnya ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M sehingga x x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + n n n x x x x x x x x x M M M M 2 1 2 1 2 1 e. Akan ditunjukkan mempunyai invers. Invers dari ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x adalah ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − n x x x M 2 1 x sehingga x x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − + 2 2 1 1 2 1 2 1 M M M M n n n n x x x x x x x x x x x x f. Akan ditunjukkan n R x ∈ α . Sudah jelas dari persamaan 2.6 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI g. Akan ditunjukkan y x y x α α α + = + y x y x α α α α α α α α α α α α α α α α + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = + n n n n n n y y y x x x y x y x y x y x y x y x M M M M 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 h. Akan ditunjukkan x β α + x x β α + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x β β β α α α β α β α β α β α β α β α β α β α M M M M M 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 x x x β α + = i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian x x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n x x x x x x x x x M M M 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 j. Akan ditunjukkan x x β α β α = _ 2 1 2 1 2 1 2 1 x x β α β β β α β α β α β α β α β α β α αβ β α = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n x x x x x x x x x x x x M M M M . ~ Definisi 2.10 Subruang Subspaces Jika W adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V dan W me- menuhi syarat-syat berikut: a. untuk W ∈ x dan sebarang skalar F ∈ α maka W ∈ x α b. untuk W ∈ x dan W ∈ y maka vektor W ∈ + y x maka W disebut subruang vektor dari V . Definisi 2.11 Ruang Nol Null Spaces Misalkan A adalah matriks berukuran n m × . Misalkan A N menyatakan him- punan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen x A = . Jadi } { Ax R x A = ∈ = n N 2.7 A N disebut sebagai ruang nol. Contoh 2.2 Tunjukkan bahwa } { Ax R x A = ∈ = n N merupakan ruang vektor. Bukti: Misalkan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n y y y M 2 1 y , dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n z z z M 2 1 z , n R z y x ∈ ∀ , , , R ∈ ∀ β α, a. Akan ditunjukkan A Ay Ax N ∈ + Ay Ax = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = + M M M Jadi A Ay Ax N ∈ + b. Akan ditunjukkan Ay Ax + Ax Ay + = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = + M M M M Ay Ax Ax Ay + = + c. Akan ditunjukkan = + + Az Ay Ax Az Ay Ax + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + = + + M M M M M M Az Ay Ax Az Ay Ax + + = + + = d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan Elemen identitasnya ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M sehingga Ax Ax = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = + M M M e. Akan ditunjukkan ada elemen invers Invers dari ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = M Ax adalah ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − = − M Ax sehingga Ax Ax = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − + M M M f. Akan ditunjukkan A Ax N ∈ α A Ax N ∈ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = M M α α α g. Akan ditunjukkan Ay Ax Ay Ax α α α + = + Ay Ax Ay Ax α α α α α α α α α α α + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = + M M M M h. Akan ditunjukkan = + Ax β α Ax Ax β α + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = + β β β α α α β α β α β α β α β α β α M M M M Ax Ax Ax Ax β α + = i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian Ax Ax = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 1 1 M M j. Akan ditunjukkan Ax Ax β α αβ = Ax Ax Ax β α β β β α αβ αβ αβ αβ αβ αβ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = M M M . ~ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.1 } { Ax R x A = ∈ = n N merupakan subruang dari n R . Bukti: Akan dibuktikan bahwa A N adalah subruang dari n R , yakni a. Misalkan A x N ∈ dan α suatu skalar, maka Ax x A = = = α α α . Jadi A x N ∈ α . b. Misalkan x dan y adalah elemen – elemen dari A N , maka Ay Ax y x A = + = + = + Jadi A y x N ∈ + . Dari a dan b terbukti bahwa A N adalah subruang dari n R . ▄ Definisi 2.12 Kombinasi Linear Misalkan n x x x , , , 2 1 K adalah vektor – vektor dalam suatu ruang vektor V atas lapangan F . Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk n n x x x α α α + + + L 2 2 1 1 2.8 disebut suatu kombinasi linear dari n x x x , , , 2 1 K , dengan skalar F n ∈ α α , , 1 K . Definisi 2.13 Merentang span Jika n x x x , , , 2 1 K adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing- masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari n x x x , , , 2 1 K maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor n x x x , , , 2 1 K merentang V dan dilambangkan , , , 2 1 n S x x x K . Teorema 2.2 Jika n x x x , , , 2 1 K adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V maka , , , 2 1 n S x x x K adalah subruang dari V . Bukti: Misalkan β suatu skalar dan misalkan n n x x x b α α α + + + = L 2 2 1 1 adalah sebarang elemen dari , , , 2 1 n S x x x K . Maka n n x x x b 2 2 1 1 βα βα βα β + + + = L Jadi , , , 2 1 n S x x x b K ∈ β Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sebarang jumlah elemen-elemen dari , , , 2 1 n S x x x K juga berada dalam , , , 2 1 n S x x x K Misalkan n n x x x b α α α + + + = L 2 2 1 1 dan n n x x x c β β β + + + = L 2 2 1 1 Maka n n n x x x c b 2 2 2 1 1 1 β α β α β α + + + + + + = + L Jadi , , , 2 1 n S x x x c b K ∈ + Jadi , , , 2 1 n S x x x K adalah subruang dari V . ▄ Definisi 2.14 Himpunan Perentang Himpunan } , , , { 2 1 n x x x K disebut himpunan perentang untuk ruang vektor V jika hanya jika , , , 2 1 n S x x x V K = . Contoh 2.3 Misalkan i e adalah vektor dalam n R yang komponen ke- i adalah 1 dan kompo- nen yang lainnya semua sama dengan nol, untuk n i , , 2 , 1 K = . Jadi ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 , , 1 , 1 2 1 M L M M n e e e . Setiap vektor n R v ∈ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vek- tor n e e e , , , 2 1 L tersebut, yaitu jika ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n v v v M 2 1 v adalah sebarang vektor dalam n R , maka n n v v v e e e v + + + = L 2 2 1 1 . Oleh karena itu } , , , { 2 1 n e e e L adalah himpunan perentang untuk n R . ~ Definisi 2.15 Bebas linear linearly independent Vektor – vektor n x x x , , , 2 1 K dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika x x x = + + + n n α α α L 2 2 1 1 2.9 mengakibatkan semua skalar – skalar n α α , , 1 K harus sama dengan nol. Definisi 2.16 Bergantung Linear linearly dependent Vektor – vektor n x x x , , , 2 1 K dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar – skalar n α α , , 1 K yang tidak semuanya nol sehingga x x x = + + + n n α α α L 2 2 1 1 2.10 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.17 Basis Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F . Himpunan vektor - vektor { } n x x x , ,. , 2 1 K membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika a. { } n x x x , ,. , 2 1 K bebas linear b. { } n x x x , ,. , 2 1 K merentang V Contoh 2.4 Tunjukkan bahwa { } n e e e , , , 2 1 K adalah basis. Bukti: Dalam contoh 2.3 telah ditunjukkan bahwa n e e e , , , 2 1 K merentang n R . Bila e e e = + + + n n v v v L 2 2 1 1 maka ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 M M n v v v , sehingga 2 1 = = = = n v v v L . Jadi n e e e , , , 2 1 K bebas linear. Maka { } n e e e , , , 2 1 K merupakan basis untuk n R . ~ Basis tersebut disebut basis baku untuk n R Definisi 2.18 Vektor-Vektor Baris dan Vektor-Vektor Kolom Misalkan matriks ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = mn m m n n a a a a a a a a a L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A . Vektor-vektor dalam n × 1 R yaitu [ ] n a a a 1 12 11 1 L = r , [ ] n a a a 2 22 21 2 L = r , [ ] mn m m m a a a L L 2 1 , = r yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam m R , yaitu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 21 11 1 m a a a M k , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 22 12 2 m a a a M k , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = mn n n n a a a M L 2 1 , k yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A , dinamakan vektor-vektor kolom dari A . Definisi 2.19 Ruang Baris dan Ruang kolom a. Subruang yang direntang oleh m vektor baris matriks A merupakan subruang dari n × 1 R dan disebut ruang baris A . b. Subruang yang direntang oleh n vektor kolom matriks A merupakan subruang dari m R dan disebut ruang kolom A . Ruang kolom A dapat dinotasikan { } n m R R x Ax b R b A ∈ = ∈ = untuk Definisi 2.20 Rank Dari Matriks Rank dari matriks A berukuran n m × ditunjukkan dengan A r . Rank matriks A penuh jika A r = min } , { n m .

2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas