⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ =
3 5
1 3
5 10
3 10
z
k
T
Maka didapatkan
b
k
T ,
c
k
T ,
d
k
T ,
x
k
T ,
y
k
T ,
z
k
T yang merupakan
titik pada batas di
3
R . Sesuai dengan sifat 3.4.
~
2. Menentukan Arah Layak
Setelah titik-dalam yang dipilih
k
x ditransformasi oleh tranformasi af-
fine- skaling
k
T , langkah selanjutnya adalah menentukan ke arah mana suatu titik itu akan menuju ke titik yang lebih baik titik optimum pada nilai fungsi, dengan
catatan arahnya adalah arah layak yaitu arah yang tetap pada daerah layak.
a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil Transfor-
masi
Andaikan
k
x adalah penyelesaian dalam yang diketahui dari soal pro-
gram linear berikut Minimumkan:
x c
T
f =
3.14 dengan
kendala:
b Ax
=
3.15
x
≥
3.16
dengan A adalah matriks
n m
×
yang mempunyai rank penuh
m
, dengan n
m ≤ ,
b
adalah vektor yang panjangnya
m
, dan x
c, adalah vektor yang panjangnya
n
.
Namakan soal A.
Penyelesaian dalam
k
x ditransformasi oleh transformasi affine-skaling
k
T diposisikan ke
e
. Dari persamaan 3.13 yakni
y X
x
k
= , maka
• Fungsi sasaran
x c
T
f =
dari persamaan 3.14 dapat dituliskan
y X
c
k T
f =
Dari persamaan 3.8, maka didapatkan
y X
c
T k
T
f =
y c
X
T k
=
y c
T k
= 3.17
dengan c X
c
k k
= 3.18
• Himpunan kendala
b Ax
=
dari persamaan 3.15 dapat dituliskan
b y
AX =
k
3.19 atau
b y
A =
k
3.20 dengan
k k
AX A
= 3.21
• Dengan kendala tak negatif di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu
y
≥ karena
x
≥
3.22 Dengan demikian didapatkan soal program linear yang bersesuaian berkorespon-
densi di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu Minimumkan:
y c
T k
f =
3.23 dengan
kendala: b
y A
=
k
3.24
y
≥ 3.25 dengan
c X
c
k k
= dan
k k
AX A
= .
k
A adalah matriks
n m
×
yang mempunyai rank penuh
m
, dengan n
m ≤ ,
b
adalah vektor yang panjangnya
m
, y
c dan
k
adalah vektor yang panjangnya
n
.
Namakan soal B.
Contoh 3.3
Minimumkan:
2 1
5 x
x f
− −
=
dengan kendala:
12 3
2
2 1
≤ + x
x
1.a
8 2
2 1
≤ + x
x
2.a
,
2 1
≥ x
x
Namakan soal A Ubahlah soal A di atas ke bentuk soal B.
Penyelesaian:
Bentuk standar soal A program linear tersebut, yakni: Minimumkan:
4 3
2 1
5 x
x x
x f
+ +
− −
= dengan kendala:
12 3
2
3 2
1
= +
+ x
x x
1.a’
8 2
4 2
1
= +
+ x
x x
2.a’ ,
, ,
4 3
2 1
≥ x
x x
x
dengan ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
= 1
5
c ,
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 1
1 2
1 3
2
A ,
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 8
12
b
Misal dipilih titik-dalam awalnya ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= 5
5 2
2 1
1
x
Kemudian dibuat matriks skaling
k
X , yaitu
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= 5
5 2
2 1
k
X
Dari persamaan 3.18 yakni
c X
c
k k
= , diperoleh
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
= ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= 2
2 5
1 5
5 5
2 2
1
k
c
Dari persamaan 3.21 yakni
k k
AX A
= , diperoleh
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 5
2 1
5 6
1 5
5 2
2 1
1 1
2 1
3 2
k
A
Sehingga didapatkan suatu soal B yang bersesuaian dengan soal A, yaitu
Minimumkan:
[ ]
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
3 3
2 1
2 2
5 y
y y
y
dengan kendala:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
8 12
5 2
1 5
6 1
3 3
2 1
y y
y y
≥
i
y , 4
,.., 1
= i
Agar dapat dinyatakan secara grafik abaikan saja variabel pengetatnya. Maka soal B dapat ditulis lagi sebagai berikut:
Minimumkan:
2 1
2 2
5 y
y −
−
dengan kendala:
12 6
2 1
≤ + y
y
1.b
8 2
2 1
≤ + y
y
2.b ≥
i
y ,
2 ,
1 =
i Dari Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa daerah layak dari soal A yaitu segi empat
yang diarsir.
Gambar 3.4 Daerah layak soal A
Dari Gambar 3.5 diperlihatkan daerah layak A pada gambar 3.4 yang sudah ditransformasi oleh transformasi affine skaling sehingga menghasil segi empat
yang diarsir yang merupakan daerah layak dari soal B.
Gambar 3.5 Daerah layak soal B
b. Menentukan Arah Layak
