Dapat juga ditulis
1
−
+
k T
k k
T k
y c
y c
3.35 Dari persamaan 3.29, maka
− +
k T
k k
y k
k T
k
y c
d y
c
α
− +
k T
k k
y k
T k
k T
k
y c
d c
y c
α
− +
k T
k k
T k
k y
k T
k
y c
y c
d c
α didapatkan
k y
k T
k
d c
α 3.36
Maka untuk nilai
k
α yang cukup kecil dan positif, nilai
k
α dapat diabaikan. Maka didapatkan
k y
T k
d c
3.37 Jadi,
k y
d
merupakan arah layak yang memperbaiki, yaitu yang menunjukan bahwa
1
−
+
k k
f f
y y
, jika
k y
T k
d c
3.38
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram
Akan ditentukan perumusan vektor arah perpindahan dengan arah turun tercuram.
Misalkan matriks
k
A berukuran
n m
×
yang mempunyai rank
m
. Misalkan
k
N A menyatakan ruang nol dari matriks
k
A dituliskan sebagai
berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
} {
d A
R d
A =
∈ =
k y
k n
k y
k
N
3.39 Dan
T k
R A
menyatakan ruang jawab dari
T k
A
, dituliskan sebagai berikut
{ }
m T
k n
T k
R R
z z
A y
R y
A ∈
= ∈
= untuk
, 3.40
Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan ruang nol dan ruang jawab merupakan subruang dari
n
R yang saling orthogonal. Jadi
⊥
k
N A
T k
R A
.
Misalkan
k k
y
N A d
∈
dan
T k
R A y
∈
dan
y d
c
+ =
k y
k
,
n k
R c
∈ .
Perhatikan gambar 3.6
Gambar 3.6 Gradien negatif dari fungsi
y f
, yaitu
k
c
−
diproyeksikan ke ruang nol
k
A
agar tercipta arah layak
k y
d
.
k y
d
dapat juga dituliskan sebagai
y c
d
− =
k k
y
Karena
z A
y
T k
=
, maka didapatkan
− =
k k
y
c d
z A
T k
3.41
k
y
1
+
k
y
k
c
−
k
y
d
Bila kedua ruas dikalikan dengan
k
A , maka didapatkan z
A A
c A
d A
T k
k k
k k
y k
− =
Karena
d A
=
k y
k
, maka didapatkan
z A
A c
A
T k
k k
k
− =
z A
A c
A
T k
k k
k
=
k k
T k
k
c A
A A
z
1
−
=
3.42 Subsitusikan persamaan 3.42 ke persamaan 3.41, maka didapatkan
k k
T k
k T
k k
k y
c A
A A
A c
d
1
−
− =
k k
T k
k T
k
c A
A A
A I
] [
1
−
− =
k k
c P
= 3.43
dengan
] [
1 k
T k
k T
k k
A A
A A
I P
−
− =
3.44
k T
k k
T k
k
A A
A A
I P
1
−
− =
disebut matriks proyeksi orthogonal pada ruang nol
k
A
Perhatikan bahwa
T k
R A y
∈
, maka berdasarkan persamaan 3.42 =
y
z A
T k
k k
T k
k T
k
c A
A A
A
1
−
=
k k
c R
= 3.45
dengan
k T
k k
T k
k
A A
A A
R
1
−
=
3.46
Perhatikan persamaan 3.44, karena
k k
AX A
= maka
1 k
T k
k T
k k
AX AX
AX AX
I P
−
− =
k T
k k
T k
AX A
X AX
A X
I
1
−
− =
k T
k T
k
AX A
AX A
X I
1 2
−
− =
3.47
Perhatikan persamaan 3.43, yakni didapatkan arah perpindahan
k k
k y
c P
d
=
. Karena tujuan kita adalah meminimumkan nilai dari fungsi sasaran, maka digunakan gradien negatif dari fungsi
k
f y , yaitu
k
c
− untuk diproyeksi- kan pada ruang nol matriks
k
A . Digunakan nilai negatif dari gradien karena gra-
dien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradien maka akan diperoleh nilai penurunan yang semakin besar. Sehingga ter-
cipta arah
k y
d
terbaik dengan perubahan nilai fungsi sasaran yang maksimum serta menurunkan nilai fungsi sasaran dari soal B. Seperti digambarkan pada gambar
3.6.
Arah perpindahan
k y
d
dengan arah turun tercuram dapat dituliskan
k k
k y
c P
d
− =
3.48 Dari persamaan 3.47 dan persamaan 3.18, maka persamaan 3.48 dapat ditu-
liskan
c X
AX A
AX A
X I
d
k k
T k
T k
k y
] [
1 2
−
− −
= 3.49
3. Menentukan Besar langkah
