Menentukan Besar langkah Metode Primal Affine-Skaling

3. Menentukan Besar langkah

k α Setelah dapat ditentukan arah langkah k y d yang memperbaiki nilai sa- saran maka selanjutnya akan ditentukan sejauh mana arah ini bergerak menuju tiitk optimum. Diberikan vektor awal k y dan k y d adalah suatu arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Untuk menentukan vektor berikutnya yaitu k y k k k d y y α + = + 1 besar langkah k α dapat diperoleh dengan mencari penyelesaian dari masalah Minimumkan: k y k k f d y α + dengan kendala: b d y A = + k y k k k α ≥ + k y k k d y α ≥ k α Perhatikan bahwa: b y A = k k dan d A = k k Maka b d y A = + k y k k k α dipenuhi untuk setiap ≥ k α Dalam kendala tak negatif diperoleh bahwa ≥ + k y k k d y α 3.50 Dengan demikian untuk ≥ i k y d maka batas maksimum k α agar persamaan 3.50 tetap terpenuhi adalah ∞ = maks k α . Dan untuk i k y d maka batas maksimum k α agar persamaan 3.50 tetap terpenuhi didapat dari bentuk i k y k i k i k y k k i d y d y − ≥ ⇔ ≥ + α α sehingga batas maksimumnya merupakan minimum dari i k y k i d y − , untuk n i , , 2 , 1 K = . Dari sifat 3.3, maka i k y i k y k i d d y 1 − = − . Sehingga untuk menentukan suatu besar langkah yang maksimum dan agar per- samaan 3.50 tetap terpenuhi maka dipilih 1 α , yaitu dipilih 99 . = α se- hingga i k y i k y k d d 1 − = − = α α α Jadi ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 99 . min i k y i k y i k d d α 3.51 Dengan demikian masalah di atas dapat diubah menjadi masalah pencarian besar langkah Minimumkan: k y k k f d y α + dengan kendala: maks α α ≤ ≤ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dengan ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ; 99 . min k y i k y k d d α jika jika ≥ k k d d Langkah selanjutnya adalah memetakan penyelesaian baru 1 + k y kembali ke ruang penyelesaian awal, agar didapat suatu perpindahan penyelesaian 1 + k x un- tuk soal A. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi invers 1 − k T , yakni 1 1 1 + − + = k k k T y x . Dari persamaan 3.12, maka didapatkan 1 1 1 1 + + − + = = k k k k k T y X y x Dari persamaan 3.29, maka didapatkan 1 k y k k k k d y X x α + = + k y k k k k d X y X α + = Dari persamaan 3.13, maka didapatkan k y k k k k d X x x α + = + 1 3.52 k x k k k d x x α + = + 1 3.53 dengan k y k k x d X d = 3.54 Ini berarti arah perpindahan di ruang penyelesaian awal yaitu k x d , dengan k y k k x d X d = dan besar langkahnya adalah k α . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Perhatikan kembali persamaan 3.52, yaitu k y k k k k d X x x α + = + 1 Dari persamaan 3.49, maka 1 + k x ] [ 1 2 c X AX A AX A X I X x k k T k T k k k k − − − = α ] [ 2 1 2 2 c AX A AX A c X x k T k T k k k − − − = α ] [ 2 k T k k k w A c X x − − = α 3.55 dengan c AX A AX w 2 1 2 k T k k − = 3.56 Perhatikan persamaan 3.55, arah perpindahan di ruang penyelesaian awal dapat juga ditulis k x d ] [ 2 k T k w A c X − − = 3.57 Perhatikan kembali persamaan 3.49, yaitu c X AX A AX A X I d k k T k T k k y ] [ 1 2 − − − = c AX A AX A X c X 2 1 2 k T k T k k − + − = Dari persamaan 3.56, maka didapatkan k T k k k y w A X c X d + − = ] [ k T k w A c X − − = 3.58 atau k k k y r X d − = 3.59 dengan k T k w A c r − = 3.60 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Ada dua pengamatan penting yang perlu diperhatikan disini: Pengamatan 1 Misalkan k k k y c P d − = dan k y k k x d X d = . Misalkan k P adalah pemetaan proyeksi, maka dapat dilihat bahwa 1 k x k k T k T d x c x c α + = + k y k k k T d X x c α + = Dari persamaan 3.8, maka didapatkan 1 + k T x c k y T k T k k T d X c x c α + = k y T k k k T d c X x c α + = Dari persamaan 3.18 , maka didapatkan 1 + k T x c k y T k k k T d c x c α + = Dari persamaan 3.48, maka didapatkan 1 + k T x c k k T k k k T c P c x c α − = Dari sifat 2.1 , yakni , PP P = dan T P P = maka didapatkan 1 + k T x c k k k T k k k T c P P c x c α − = k k T k T k k k T c P P c x c α − = k k T k k k k T c P c P x c α − = k k T k k k k T c P c P x c − − − = α Dari persamaan 2.15, maka 1 + k T x c 2 k y k k T d x c α − = 3.61 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sehingga jika arah perpindahan d ≠ k y ini berarti ada perpindahan yang terjadi dari k x ke 1 + k x . Sedangkan jika d = k y ini berarti 1 + k T x c k T x c = , maka k x 1 + = k x berarti sudah tidak terjadi perpindahan, maka proses iterasi berhenti. Beberapa teorema yang penting untuk kondisi arah layak k y d diberikan oleh teo- rema berikut: Teorema 3.1 Misalkan P k ∈ x . Misalkan k y d pada ruang nol dari k A dengan d k y maka nilai fungsi sasaran f masalah program linear dari soal A adalah tak terbatas unbounded, maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum. Bukti: Diketahui P k ∈ x maka n k R x ∈ dengan b Ax = k , x k Karena k y d pada ruang nol dari k A dengan d k y Maka k y k k k d y y α + = + 1 adalah layak untuk soal B, untuk setiap k α Dari persamaan 3.61, yakni 1 + k T x c 2 k y k k T d x c α − = Sehingga untuk i k y d maka batas maksimum k α yang memenuhi k y k k k d y y α + = + 1 adalah ∞ = maks k α Maka 1 + k T x c akan mencapai ∞ − atau tak terbatas Maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum. ▄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 3.2 Misalkan P k ∈ x . Misalkan k y d pada ruang nol k A dengan d = k y maka penyelesaian layak dari soal A adalah penyelesaian optimum. Bukti: Diketahui P k ∈ x maka n k R x ∈ dengan b Ax = k , x k Diketahui k k k y c P d − = , dengan k P matriks proyeksi pada ruang nol k A Karena d = k y Maka k k k y c P d − = c A A A A I = − − = − k k T k k T k 1 c c A A A A = − − k k k T k k T k 1 k k k T k k T k c c A A A A = − 1 k k T k c u A = dengan k k T k k k c A A A u 1 − = Perhatikan bahwa sebenarnya k k w u = , dengan k k AX A = . Dari persamaan 3.18 dan persamaan 3.21, maka didapatkan c X u AX k k T k = Dari persamaan 3.8, maka didapatkan c X u AX T k k T k = Dari persamaan 2.13, maka didapatkan k T k T k X c AX u = 1 1 − − = k k T k k T k X X c X AX u T T k c A u = Misalkan x adalah penyelesaian layak dari b Ax = , maka x c Ax u T T k = x c b u T T k = x c u b T k T = Dengan menggunakan teorema 2.6, diperoleh x penyelesaian optimum soal primal. ▄ Pengamatan 2 Jika k x adalah vertek, maka persamaan 3.56, yakni c AX A AX w 2 1 2 k T k k − = Dapat disederhanakan menjadi B T k c B w 1 − = 3.62 dengan 2 T k T A AX B = dan c AX c 2 k B = Perhatikan persamaan 3.62, bila kedua ruas dikalikan dengan T B maka didapat- kan B T T k T c B B w B 1 − = B k T c w B = Vektor k w disebut sebagai penduga dual dual estimates yang bersesuaian dengan penyelesaian primal k x . Perhatikan persamaan 3.60, yakni k T k w A c r − = Persamaan 3.60 di atas dapat disederhanakan menjadi T k A c r − = B T c B 1 − k r disebut vektor ongkos tereduksi reduced cost vector yang bersesuaian dengan k x . Misalkan k x penyelesaian primal . Bila k x dikenai transformasi af- fine-skaling, maka k k k k T x X x 1 − = Dari sifat 3.3, yakni = k k T x e Maka e k k x X 1 − = Bila kedua ruas ditransposkan, maka didapatkan T e T k k 1 x X − = Dari persamaan 3.9, maka didapatkan 1 − = k T k T X x e k k T k k T X X x X e 1 − = T k k T x X e = Dari persamaan 3.8, maka didapatkan T k T k T x X e = T k T k x e X = Bila dikalikan dengan k r , maka T k e X k r T k x = k r Jika ≥ k r , maka penduga dual k w akan menjadi penyelesaian layak dual. Dan T k e X k r T k x = k r disebut duality gap dari pasangan penyelesaian layak , k k w x , yakni k k T k T k T r X e w b x c = − 3.63 Perhatikan persamaan 3.63 tersebut, jika = k k T r X e dan r ≥ k , maka k T k T w b x c = , artinya bahwa penyelesaian layak soal primal , yaitu k x sama dengan penyelesaian layak soal dual, yaitu k w . Dari teorema 2.6, maka k x adalah penyelesaian optimum soal primal dan k w adalah penyelesaian optimum soal dual.

B. Algoritma Primal Affine-Skaling

Dari uraian pada bagian-bagian sebelumnya, maka algoritma primal af- fine- skaling untuk masalah: Minimumkan: x c T f = dengan kendala: b Ax = x ≥ dengan A adalah matriks n m × yang mempunyai rank penuh m dan n m ≤ , b adalah vektor yang panjangnya m , x

c, adalah vektor yang panjangnya

n . Da- pat disusun sebagai berikut: Langkah 1 : Inisialisasi Pilih titik-dalam awal k x yang memenuhi: