Transformasi Affine-Skaling Metode Primal Affine-Skaling

Jadi penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = t s t t s x x x x 15 30 4 3 2 1 x Karena bentuk umum penyelesaian dari sistem persamaan linear ini diketahui, be- berapa penyelesaian dari sistem persamaan linear ini dapat dicari dengan menen- tukan nilai t s dan , dengan catatan harus memenuhi persamaan 3.5. Misal 13 dan 7 = = t s , maka didapat ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 13 7 2 10 4 3 2 1 1 x x x x x adalah penyelesaian dalam untuk soal di atas. ~

1. Transformasi Affine-Skaling

Langkah pertama dari metode primal affine-skaling adalah transformasi affine-skaling, yaitu mengubah penyelesaian dalam yang dipilih dengan transfor- masi affine-skaling sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih di- posisikan dekat dengan pusat dari daerah layak. Ide dasar dari transformasi ini, yaitu a. Jika penyelesaian dalam yang dipilih letaknya dekat dengan pusat dari daerah layak seperti titik 1 x pada gambar 3.1. Maka dapat dibuat perpindahan ke titik x yang maksimum dengan tetap memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan juga perbaikan nilai fungsi sasaran yang maksimum. Sedangkan jika penyele- saian dalam yang dipilih letaknya dekat batas daerah layak seperti titik 2 x pada gambar 3.1. Maka hanya sedikit perpindahan dapat dibuat dengan tetap memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan juga perbaikan nilai fungsi sasaran yang kecil. Perpindahan tersebut dilakukan dengan menggunakan arah turun tercuram dari fungsi sasarannya. Dengan demikian arah turun tercuram lebih efektif jika penyelesaian dalam yang dipilih berada dekat dengan pusat dari daerah layak. Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling Keterangan: x adalah titik optimum yang ingin dicapai, 1 x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan pusat dari daerah layak, 2 x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan batas dari daerah layak b. Tanpa harus mengubah soal, suatu transformasi yang sesuai dapat digunakan sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih diposisikan dekat dengan pusat daerah layak. 1 x x 2 x Definisi 3.6 Matriks skaling Scaling Matrix Misalkan n k R x ∈ adalah titik-dalam dari ortan tak negatif n + R yaitu k i x un- tuk n i , , 1 L = . Matriks diagonal n n × dengan elemen diagonalnya adalah titik- dalam k x disebut matriks skaling k X , dituliskan sebagai berikut ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = k n k k k i k x x x x diag L M O M M L L 2 1 X 3.6 matriks k X adalah matriks nonsingular dengan matriks inversnya, yaitu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − k n k k k i k x x x x diag 1 1 1 1 2 1 1 L M O M M L L X 3.7 Karena k X dan 1 − k X adalah matriks diagonal n n × sehingga k T k X X = 3.8 dan 1 1 − − = k T k X X 3.9 Definisi 3.7 Transformasi affine-skaling Affine-Scaling Tranformation Misalkan x ≥ , n R x ∈ , transformasi affine-skaling x k T atau dapat ditulis k T dari n + R ke n + R didefinisikan = y x X x 1 − = k k T 3.10 Sifat 3.1 Misalkan ∈ x k T n + R . Transformasi affine-skaling x k T dengan x X x 1 − = k k T adalah transformasi linear. Bukti: a. Untuk sebarang vektor 1 x dan 2 x di n R 2 1 1 2 1 x x X x x + = + − k T 2 1 1 1 x X x X − − + = k k 2 1 x x T T + = b. 1 x X x s s T k − = 1 x X − = k s x sT = Jadi x X x 1 − = k k T adalah transformasi linear. ▄ Transformasi k T memiliki beberapa sifat yaitu: Sifat 3.2 Jika k x adalah suatu titik-dalam di n + R maka k T adalah pemetaan yang terdefinisi dengan baik well defined dari n + R ke n + R . Bukti: Terdefinisi dengan baik yaitu , , k k k k k k n k k T T y x y x R y x = ⇒ = ∈ ∀ + Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu k k k k k k T T y x y x ≠ ⇒ ≠ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Misalkan n k k + ∈ R y x , Bila k k y x dan dikenai transformasi affine-skaling k T , maka didapat k k k k T x X x 1 − = dan k k k k T y X y 1 − = Karena k k k k T T y x ≠ Maka k k k k y X x X 1 1 − − ≠ k k k k k k y X X x X X 1 1 − − ≠ Jadi k k y x ≠ Jadi k T adalah pemetaan yang terdefinisi dengan baik dari n + R ke n + R . ▄ Sifat 3.3 k T memetakan k x ke posisi pusat dari n + R , yaitu e x = k k T . Bukti: Misalkan n k n k k k x x x + ∈ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = R x M 2 1 Bila k x dikenai transformasi affine-skaling k T , maka didapat k k k k T x X x 1 − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = k n k k k n k k k k x x x x x x T M L M O M M L L 2 1 2 1 1 1 1 x e = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 2 2 1 1 M M k n k n k k k k x x x x x x Jadi e x = k k T . ▄ 3.11 Secara geometri pemetaan transformasi affine skaling k k T x dapat diperlihatkan pada ilustrasi dalam 2 R berikut ini Gambar 3.2. Titik-dalam yang dipilih k x ditransformasikan oleh k T ke posisi e . Sifat 3.4 Jika x adalah titik batas dari S maka x k T adalah titik batas dari S T . Bukti: Dari definisi 2.40, suatu titik x dikatakan titik batas dari S jika setiap persekitaran dari x terdiri dari titik yang berada di dalam dan di luar S , yakni φ φ ε ε ≠ ∩ ∧ ≠ ∩ c S N S N x x 1 x k x 1 y e • 2 y 2 x Akan dibuktikan x k T titik batas dari S T Cukup dibuktikan a. φ ε ≠ ∩ S T T N k x b. φ ε ≠ ∩ c k S T T N x Akan dibuktikan a. φ ε ≠ ∩ S T T N k x Bila x dikenai transformasi affine-skaling, maka didapatkan = y x k T 1 − = k X x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = k n n k k n k n k k x x x x x x x x x x x x M M L M O M M L L 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 atau dapat juga ditulis k i i i x x y = , dengan n i , , 1 K = Akan dibuktikan dengan kontradiksinya Andaikan φ ε = ∩ S T T N k x Berarti y x k i T N ε ∈ ∀ , 0 i y Pilih y x k i T N ε ∈ , dengan S ∈ x Maka = k i i i x x y karena i x dan k i x Timbul kontradiksi maka pengandaian salah Jadi φ ε ≠ ∩ S T T N k x b. φ ε ≠ ∩ c k s T T N x Andaikan φ ε = ∩ c k s T T N x Berarti y x k i T N ε ∈ ∀ , 0 i y Karena φ ε ≠ ∩ c S T N x Maka ada i x sehingga = k i i i x x y karena i x dan k i x Timbul kontradiksi maka pengandaian salah Jadi φ ε ≠ ∩ c k S T T N x Karena ∧ ≠ ∩ φ ε S T T N k x φ ε ≠ ∩ c k S T T N x Jadi x k T adalah titik batas dari n + R . ▄ Sifat 3.5 Jika x adalah titik-dalam dari S maka x k T adalah titik-dalam dari S T . Bukti: Suatu titik x dikatakan titik-dalam dari S berarti S N ⊂ x ε Akan dibuktikan x k T titik-dalam Cukup dibuktikan S T T N k ⊂ x ε Andaikan S T T N k ⊇ x ε Berarti y x k i T N ε ∈ ∃ , c i S T y ∈ Karena S ⊂ x berarti i x Dan 0 k i x Maka = k i i i x x y berarti S T y i ∈ Timbul kontradiksi maka pengandaian salah Jadi S T T N k ⊂ x ε Jadi x k T titik-dalam. ▄ Sifat 3.6 k T merupakan pemetaan satu-satu one to one dan juga pemetaan pada onto dengan transformasi invers 1 − k T , sehingga y X y k k T = − 1 3.12 Bukti: a. k T merupakan pemetaan satu-satu one to one, yaitu , y x y x R y x k k n T T ≠ ⇒ ≠ ∈ ∀ + Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu y x y x R y x = ⇒ = ∈ ∀ + , k k n T T Misalkan n + ∈ R y x, Bila y x dan dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan x X x 1 − = k k T dan y X y 1 − = k k T Karena y x k k T T = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Maka y X x X 1 1 − − = k k Maka y x = Jadi k T pemetaan satu-satu b. k T merupakan pemetaan pada onto, yaitu n + ∈ ∀ R y n + ∈ ∃ R x y x = k T Misalkan n + ∈ R y Klaim y X x k = 3.13 Bila x dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan x X x 1 − = k k T y X X k k 1 − = y x = k T Jadi k T pemetaan pada Jadi k T merupakan pemetaan satu-satu dan juga pemetaan pada. ▄ Agar lebih memahami sifat-sifat dari transformasi affine-skaling k T , perhatikan contoh 3.2 berikut. Contoh 3.2 Misalkan z y x d c b a , , , , , , di 3 R . Misalkan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 3 , 10 1 , 10 3 a adalah titik-dalam PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 , , 3 1 b , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 7 6 , 7 1 , c , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = , 4 1 , 4 3 d , [ ] , , 1 = x , [ ] , 1 , = y , [ ] 1 , , = z adalah titik batas. Titik-titik z y x d c b a , , , , , , ditransformasi oleh transformasi af- fine- skaling k T . Tentukan hasil dari transformasi affine-skaling k T tersebut. Perhatikan gambar 3.3 berikut Gambar 3.3. Titik-dalam a ditransformasikan oleh k T tetap menghasilkan titik-dalam juga, yaitu a k T , titik- titik pada batas yaitu, z y x d c b , , , , , ditransformasikan k T tetap menghasilkan titik pada batas juga, yaitu , , d c b k k k T T T , , , z y x k k k T T T . Jawab: Misalkan a adalah titik-dalam, maka dapat dibuat matriks skaling k X , yaitu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 3 10 1 10 3 k X dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 5 10 3 10 1 k X Dari persamaan 3.10, yaitu x X x 1 − = k k T a b c d x y z x k T z k T a k T b k T c k T d k T k T y k T Maka bila ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 3 , 10 1 , 10 3 a dikenai transformasi affine-skaling, akan diperoleh e a = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 5 3 10 1 10 3 3 5 10 3 10 k T . Sesuai dengan sifat 3.3 Misalkan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 , , 3 1 b , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 7 6 , 7 1 , c , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = , 4 1 , 4 3 d , [ ] , , 1 = x , [ ] , 1 , = y , [ ] 1 , , = z adalah titik pada batas Maka bila z y x d c b , , , , , dikenai transformasi affine-skaling k T , akan diperoleh ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 9 10 9 10 3 2 3 1 3 5 10 3 10 b k T ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 7 10 7 10 7 6 7 1 3 5 10 3 10 c k T ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 5 2 5 4 1 4 3 3 5 10 3 10 d k T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 10 1 3 5 10 3 10 x k T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 1 3 5 10 3 10 y k T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 5 1 3 5 10 3 10 z k T Maka didapatkan b k T , c k T , d k T , x k T , y k T , z k T yang merupakan titik pada batas di 3 R . Sesuai dengan sifat 3.4. ~

2. Menentukan Arah Layak