Dari Gambar 3.5 diperlihatkan daerah layak A pada gambar 3.4 yang sudah ditransformasi oleh transformasi affine skaling sehingga menghasil segi empat
yang diarsir yang merupakan daerah layak dari soal B.
Gambar 3.5 Daerah layak soal B
b. Menentukan Arah Layak
Dalam menentukan arah layak harus ditentukan apakah arah layak terse- but merupakan arah yang menuju ke titik yang lebih baik, yaitu ke titik yang
memberikan nilai optimum fungsi sasaran. Oleh karena itu akan ditentukan arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran tersebut.
Perhatikan soal B berikut: Minimumkan:
y c
T k
f =
3.26 dengan
kendala: b y
A =
k
3.27
y
≥ 3.28 dengan
c X
c
k k
= dan
k k
AX A
= .
dengan
k
A adalah matriks berukuran
n m
×
yang mempunyai rank
m
, dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
n m
≤ ,
b
adalah vektor yang panjangnya
m
, y
c dan
k
adalah vektor yang pan- jangnya
n
. Dengan memperhatikan soal B , akan ditentukan apakah
k y
d
merupakan arah layak dan apakah
k y
d
tersebut merupakan arah yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Misal
k
y adalah penyelesaian layak, kemudian
k
y akan dijalankan ke
suatu titik layak lain yaitu
1
+
k
y yaitu titik dengan perubahan nilai sasarannya di
ruang penyelesaian hasil transformasi sesuai dengan alur iterasi berikut:
k y
k k
k
d y
y
α
+ =
+
1
3.29 dengan:
k
y adalah penyelesaian layak pada iterasi ke-
k
,
k y
d
adalah arah perpindahan di ruang penyelesaian hasil transformasi
k
α adalah besar langkah
k
α Nilai
k
α dipilih sedemikian sehingga nilai
1
+
k
y tetap berada pada daerah layak.
Sedangkan arah langkah
k y
d
dipilih sedemikian sehingga pada setiap perpindahan dalam iterasinya tidak melanggar kendala yang diberikan sehingga dapat mem-
perbaiki nilai dari fungsi sasaran. Menurut definisi 2.41, yakni
d
, dengan
≠
d
merupakan arah layak pada
S ∈
y jika terdapat
α sedemikian sehingga
S ∈
+ d y
α ,
] ,
[ α
α ∈ ∀
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Maka vektor tak nol
k y
d
merupakan arah layak jika memenuhi kendala persamaan:
b y
A =
+1 k
k
3.30 dengan
1
≥ +
=
+
k y
k k
k
d y
y
α Dimana
k y
k k
d y
α
+
merupakan kendala tak negatif untuk setiap ]
, [
α α ∈
k
dan S
k
∈
y .
Dari persamaan 3.29, maka
b d
y A
= +
k y
k k
k
α Karena
b y
A =
k
, maka
b d
A y
A =
+
k y
k k
k k
α
b d
A b
= +
k y
k k
α
d A
=
k y
k k
α Maka untuk nilai
k
α yang cukup kecil dan positif, nilai
k
α dapat diabaikan Maka didapatkan
d A
=
k y
k
3.31 Jadi
k y
d
pasti berada di ruang nol dari matriks
k k
AX A
= . Sehingga
k y
d
meru- pakan penyelesaian di ruang nol matriks
k
A .
Pada kendala tak negatif yakni
≥ +
k y
k k
d y
α dengan
k
α , diketahui
nilai
k i
y , yaitu
k i
y atau
=
k i
y ; sedangkan nilai
i k
y
d
yang mungkin adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.
i k
y
d
atau
k k
i i
k y
y d
α −
≥ jika
k i
y
2.
≥
i k
y
d
jika =
k i
y Jadi, dari uraian di atas
k y
d
merupakan arah layak jika hanya jika: 1.
d A
=
k y
k
2.
k k
i i
k y
y d
α −
≥ jika
k i
y
3.
≥
i k
y
d
jika =
k i
y untuk setiap
n i
, ,
2 ,
1 L
=
Selanjutnya akan ditunjukkan apakah
k y
d
merupakan arah layak yang memperbaiki nilai sasaran, menurut definisi 2.41. Perhatikan bentuk
d y
α +
Bentuk ini merupakan titik baru iterasi, artinya fungsi y
f didekati atau diham-
piri melalui tiap iterasi sampai pada titik y dengan arah
d
yang menghasilkan ti- tik baru
d y
α +
3.32 Dari definisi 2.41, untuk masalah meminimumkan
y
f , arah
d
merupakan arah yang memperbaiki nilai sasaran jika:
y d
y f
f +
α atau
− +
y d
y f
f α
3.33 Atau, sesuai dengan alur iterasi dapat ditulis
1
−
+
k k
f f
y y
3.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dapat juga ditulis
1
−
+
k T
k k
T k
y c
y c
3.35 Dari persamaan 3.29, maka
− +
k T
k k
y k
k T
k
y c
d y
c
α
− +
k T
k k
y k
T k
k T
k
y c
d c
y c
α
− +
k T
k k
T k
k y
k T
k
y c
y c
d c
α didapatkan
k y
k T
k
d c
α 3.36
Maka untuk nilai
k
α yang cukup kecil dan positif, nilai
k
α dapat diabaikan. Maka didapatkan
k y
T k
d c
3.37 Jadi,
k y
d
merupakan arah layak yang memperbaiki, yaitu yang menunjukan bahwa
1
−
+
k k
f f
y y
, jika
k y
T k
d c
3.38
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram
