penyelesaian layak basis yang memberikan nilai optimum untuk fungsi sasaran.
2. Dualitas
Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan ber-
kaitan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.6
Misalkan terdapat masalah program linear , namakan saja soal P, yakni Maksimumkan
x c
T
f =
2.40 dengan
kendala
b Ax
≤
2.41
x
≥
2.42
Masalah program linear ini berpola maksimum standar. Soal P disebut soal pri- mal karena lebih dulu ditentukan. Dari soal primal dapat ditentukan soal dual,
yakni Minimumkan
w b
T
g =
2.43 dengan
kendala c
w A
≥
T
2.44
w
≥
2.45
dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan
w
penyelesaian dari soal dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam 2.41 menjadi vektor ongkos
dalam 2.43 dan sebaliknya vektor ongkos dalam 2.40 menjadi vektor suku PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tetap dalam 2.44. Sedangkan koefisien matriks kendala 2.41 adalah transpose matriks koefisien kendala 2.44.
Teorema 2.5 Jika x suatu penyelesaian layak dari soal primal dan
w
penyelesaian layak dari soal dual maka
w b
x c
T T
≤ berarti nilai f yang bersesuaian dengan soal primal
lebih kecil atau sama dengan nilai g yang bersesuaian dengan soal dual
Bukti:
Misalkan
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
n
x x
x M
2 1
x
adalah penyelesaian layak dari soal primal
dan
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
m
w w
w M
2 1
w
adalah penyelesaian layak dari soal dual
Maka
i n
j j
ij
b x
a ≤
∑
=
1
, untuk m
i ,
, 1 K
=
Bila kedua ruas dikalikan dengan
i
w , maka didapatkan
i i
n j
j ij
i
b w
x a
w ≤
∑
=
1
, untuk m
i ,
, 1 K
= karena
≥
i
w Bila dijumlahkan menurut i , maka didapatkan
m m
n j
j ij
m n
j j
ij
b w
b w
x a
w x
a w
+ +
≤ +
+
∑ ∑
= =
L L
1 1
1 1
1
Dari persamaan 2.12, maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑ ∑
∑
= =
=
≤
m i
i i
n j
j ij
m i
i
b w
x a
w
1 1
1
b w
Ax w
T T
≤ Dari persamaan 2.13, maka didapatkan
w b
Ax w
T T
≤ 2.46
Karena
w
penyelesaian layak dari soal dual. Maka
j m
i i
ij
c w
a ≥
∑
=
1
, untuk
n j
, ,
1 K =
. Bila kedua ruas dikalikan dengan
j
x , maka didapatkan
j j
j m
i i
ij
x c
x w
a ≥
∑
= 1
, untuk n
j ,
, 1 K
=
j j
m i
j ij
i
x c
x a
w ≥
∑
=1
, untuk n
j ,
, 1 K
=
Bila dijumlahkan menurut j , maka didapatkan
n n
m i
n in
i m
i i
i
x c
x c
x a
w x
a w
+ +
≥ +
+
∑ ∑
= =
L L
1 1
1 1
1 1
n n
n in
i m
i i
x c
x c
x a
x a
w +
+ ≥
+ +
∑
=
L L
1 1
1 1
1
∑ ∑
∑
= =
=
≥
n j
j j
n j
j ij
m i
i
x c
x a
w
1 1
1
x c
Ax w
T T
≥ 2.47
Dari persamaan 2.46 dan persamaan 2.47, maka w
b Ax
w x
c
T T
T
≤ ≤
Jadi w
b x
c
T T
≤ .
▄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.6
Jika x adalah penyelesaian layak dari soal primal dan
w penyelesaian layak
dari soal dual dengan
w b
x c
T T
= , maka
x adalah penyelesaian optimum untuk
soal primal dan w penyelesaian optimum untuk soal dual. Ini berarti
minimum maksimum
g f
= .
Bukti:
Diketahui
w b
x c
T T
= . Dari teorema 2.5, maka
x c
w b
x c
T T
T
= ≤
untuk
sebarang penyelesaian layak x . Jadi x
c x
c
T T
≤ berarti
x adalah
penyelesaian optimum bagi soal primal. Analog dengan bukti di atas, untuk sebarang penyelesaian
w
bagi soal dual berlaku
w b
x c
w b
T T
T
= ≥
. Jadi w
b w
b
T T
≥ berarti
w adalah
penyelesaian optimum untuk soal dual. Sehingga
minimum maksimum
g f
T T
= =
=
w b
x c
. ▄
D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear
1. Optimisasi
Optimisasi merupakan suatu proses penentuan penyelesaian yang terbaik
dari suatu masalah. Dalam masalah optimisasi fungsi sasaran adalah mengopti- mumkan memaksimumkanmeminimumkan nilai suatu fungsi.
Perhatikan masalah berikut kan
Minimum x
x
f
S ∈
, dengan
n
R x
∈ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kategori