BAB II ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang melandasi bab berikutnya. De- finisi, teorema serta konsep-konsep mengacu pada daftar pustaka.
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Definisi 2.1 Persamaan Linear Persamaan linear dalam
n
variabel
n
x x
x ,
, ,
2 1
L adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk b
x a
x a
x a
n n
= +
+ +
L
2 2
1 1
2.1 dengan
n
a a
a ,
, ,
2 1
K dan
b
adalah konstanta real dan
n
a a
a ,
, ,
2 1
K tidak semua
sama dengan nol.
Definisi 2.2 Sistem Persamaan Linear Suatu sistem persamaan linear
n m
×
adalah himpunan
m
persamaan linear dengan
n
variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
1 1
1 21
1 11
x a
x a
x a
m
M
+ +
+
2 2
2 22
2 12
x a
x a
x a
m
+ +
+
L O
L L
+ +
+
m n
mn n
n n
n
b x
a b
x a
b x
a
= =
= M
2 2
1 1
2.2
dengan
in i
i
a a
a ,
, ,
2 1
K dan
i
b adalah konstanta real dan
in i
i
a a
a ,
, ,
2 1
K tidak semua
sama dengan nol, untuk m
i ,
, 2
, 1
K =
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam sistem persamaan linear
n m
×
, dapat terjadi n
m n
m n
m =
atau ,
. Apabila
n n
t x
t x
t x
= =
= ,
, ,
2 2
1 1
L dimana
n
t t
t ,
, ,
2 1
K adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua persamaan linear dalam
sistem 2.2, maka pasangan terurut ,
, ,
2 1
n
t t
t K
disebut penyelesaian atau jawab
dari sistem persamaan linear 2.2.
Definisi 2.3 Konsisten dan Tidak Konsisten
1. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut
mempunyai penyelesaian. 2.
Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan terse-
but tidak mempunyai penyelesaian. Sistem yang konsisten dapat mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai
banyak penyelesaian.
Sistem persamaan linear 2.2 di atas dapat dituliskan dengan notasi ma- triks sebagai berikut:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
m n
mn m
m n
n
b b
b
x x
x
a a
a a
a a
a a
a M
M L
M O
M M
L L
2 1
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
2.3
Atau lebih singkat ditulis
b Ax
=
, dimana
ij
a =
A yaitu matriks koefisien,
j
x =
x dan
i
b b
= , untuk
m i
, ,
1 K =
dan n
j ,
, 1 L
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika
konstanta 0 =
i
b , untuk setiap
m i
,..., 2
, 1
= . Sistem persamaan linear homogen
mempunyai bentuk umum:
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
1 1
1 21
1 11
x a
x a
x a
m
M
+ +
+
2 2
2 22
2 12
x a
x a
x a
m
+ +
+
L O
L L
+ +
+
2 1
= =
=
n mn
n n
n n
x a
x a
x a
M 2.4
Sistem persamaan linear homogen selalu konsisten karena ...,
, ,
2 1
= =
=
n
x x
x selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini disebut
penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut penyelesian nontrivial.
Definisi 2.5 Matriks Lengkap Matriks lengkap dari sistem persamaan linear 2.2 adalah
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
1 21
11
m
a a
a M
2 22
12
m
a a
a
L O
L L
mn n
n
a a
a M
2 1
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
m
b b
b M
2 1
Definisi 2.6 Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke- i dan
ke- j , dengan notasi
j i
R R
↔ .
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke- i
dengan bilangan ,
≠ c
c , dengan notasi
i
cR . 3.
Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain, yakni mengganti baris ke- i ditambah
c
kali baris ke- j , dengan no- tasi
j i
cR R
+ .
Definisi 2.7 Matriks Ekivalen Baris Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat matriks ele-
menter
k
E E
E ,...,
,
2 1
sehingga
A E
E E
B
1 1
...
−
=
k k
atau
B E
E E
A
1 1
2 1
1
...
− −
−
=
k
.
Dengan operasi baris elementer, matriks lengkap dari suatu sistem per- samaan linear harus diubah menjadi suatu matriks dari sistem persamaan linear
yang mudah dicari jawabnya, yakni dengan matriks eselon.
Definisi 2.8 Matriks Eselon Matriks E disebut matriks eselon jika memenuhi dua sifat berikut:
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang
memuat elemen tak nol. 2.
Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak
nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari baris sebelumnya.
Matriks eselon ini disebut juga matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks
eselon mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Ruang Vektor
Kategori