Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas

2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas

Definisi 2.21 Ruang Hasil Kali Dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor - vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan real y x, yang memenuhi syarat berikut: a. , dan , , = ≠ ∀ ≥ x x x x x jika hanya jika = x . b. V ∈ ∀ = y x x y y x , , , c. V ∈ ∀ + = + z y x z y z x z y x , , , , , , β α β α dan R ∈ ∀ β α, Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam . Contoh 2.5 Ruang vektor n R . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan: [ ] n n n n T y x y x y x y y y x x x + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = K M L 2 2 1 1 2 1 2 1 , y x y x . 2.11 adalah hasil kali dalam untuk n R yang disebut hasil kali dalam baku. Persamaan 2.11 dapat juga ditulis ∑ = = = n i i i T y x 1 , y x y x 2.12 dengan T x menyatakan transpose matriks x . Bukti: Ambil sebarang vektor ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n y y y M 2 1 y , dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n z z z M 2 1 z dalam ruang vektor n R dan sebarang skalar R ∈ β α, a. Dibuktikan , ≥ = x x x x T Diketahui x x x x T = , [ ] , 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ≥ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = n n n T x x x x x x x x x K M L x x x x Jadi , ≥ x x ⇒ Diketahui , = x x Untuk ... 2 2 2 2 1 = + + + n x x x diperoleh ....... 2 1 = = = = n x x x jadi x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 M M n x x x ⇐ Diketahui x = Dibuktikan , = = x x x x T x x x x T T = = , [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M L PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jadi . . . = + + + = K x x T b. Dibuktikan n R y x x y y x ∈ ∀ = , , , yaitu dibuktikan x y x y y x y x , , = = = T T y x y x T = , [ ] n n n n y x y x y x y y y x x x + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = K M L 2 2 1 1 2 1 2 1 n n x y x y x y + + + = K 2 2 1 1 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n x x x y y y M L 2 1 2 1 x y x y , = = T Jadi x y y x T T = 2.13 Jadi terbukti n R y x x y y x ∈ ∀ = , , , c. Dibuktikan n R z y x z y z x z y x ∈ ∀ + = + , , , , , , β α β α , R ∈ ∀ β α, [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = + n n n z z z y x y x y x M L 2 1 2 2 1 1 , β α β α β α β α z y x n n n n z y z y z y z x z x z x β β β α α α + + + + + + + = K K 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n z y z y z y z x z x z x + + + + + + + = K K β α [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n z z z y y y z z z x x x M L M L 2 1 2 1 2 1 2 1 β α z y z x T T β α + = 2.14 z y z x , , β α + = Jadi terbukti n R z y x z y z x z y x ∈ ∀ + = + , , , , , , β α β α Dari a, b, c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor n R adalah hasil kali skalar y x y x T = , . ~ Definisi 2.22 Panjang atau norma Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam n R , pan- jang atau norma dari x didefinisikan 2 2 2 2 1 n T x x x + + + = = K x x x 2.15 Definisi 2.23 Ortogonal Dua vektor dalam n R , yaitu y x dan , dikatakan orthogonal, dilambangkan y x ⊥ , jika = y x T 2.16 Definisi 2.24 Subruang Yang Ortogonal Dua subruang vektor dalam n R , yaitu X dan Y , dikatakan orthogonal jika X T ∈ ∀ = x y x , dan Y ∈ y 2.17 Jika X dan Y saling orthogonal, dapat ditulis sebagai Y X ⊥ . Teorema 2.3 b Ax = adalah konsisten jika hanya jika A b R ∈ Bukti: ⇒ Akan dibuktikan A b R ∈ , artinya b berada di ruang kolom dari A R Misalkan A adalah matriks n m × dan n R x ∈ Karena b Ax = adalah konsisten maka b Ax = mempunyai penyelesaian Misalkan x adalah penyelesaian Maka ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n mn m m n n x x x a a a a a a a a a M L M O M M L L 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 Ax ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + + = n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m b b b M 2 1 b Atau dapat ditulis n in i i i x a x a x a b + + + = L 2 2 1 1 Perhatikan bahwa b merupakan vektor yang direntang oleh vektor-vektor kolom matriks A . Ini berarti b berada di ruang kolom A . Jadi A b R ∈ ⇐ Akan dibuktikan b Ax = adalah konsisten Karena A b R ∈ maka b dapat direntangkan oleh oleh vektor-vektor kolom matriks A , yang dapat ditulis n in i i i x a x a x a b + + + = L 2 2 1 1 Berarti ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x M 2 1 x memenuhi sistem b Ax = Jadi x adalah penyelesaian Jadi b Ax = adalah konsisten. ▄ Teorema 2.4 Misalkan A matriks berukuran n m × . Andaikan matriks A mempunyai rank penuh m . Misalkan A N menyatakan ruang nol A dan T R A menyatakan ruang kolom dari T A maka A N dan T R A merupakan subruang yang saling orthogonal. Bukti: Misalkan A x N ∈ dan T R A y ∈ Akan dibuktikan ⊥ A N T R A PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Berarti cukup dibuktikan y x ⊥ , artinya = y x T , , T R N A y A x ∈ ∈ ∀ } { Ax R x A = ∈ = n N dan { } m T n T R R z z A y R y A ∈ = ∈ = untunk Maka z Ax z A x y x T T T T = = Karena Ax = Maka z y x T T = Maka 0 = y x T Jadi y x ⊥ Jadi ⊥ A N T R A . ▄ T R A disebut juga sebagai ruang jawab dari z A y T = . Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan bahwa n N R A ∈ dan n T R R A ∈ adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan A x N ∈ dan T R A y ∈ dan y x c + = , n R c ∈ . Gambar 2.1. y x c + = c x Ax = y x dapat juga ditulis y c x − = 2.18 Karena z A y T = , maka didapatkan z A c x T − = 2.19 Kalikan kedua ruas dengan A , maka didapatkan z AA Ac Ax T − = Diketahui bahwa Ax = , maka didapatkan z AA Ac T − = z AA Ac T = z Ac AA 1 − = T 2.20 Subsitusikan persamaan 2.20 ke persamaan 2.19, maka didapatkan Ac AA A c x 1 − − = T T c A AA A I ] [ 1 − − = T T Pc = 2.21 dengan ] [ 1 A AA A I P − − = T T 2.22 Definisi 2.25 Matriks Proyeksi Orthogonal Matriks P berukuran n n × , dengan ] [ 1 A AA A I P − − = T T disebut matriks proyeksi ruang nol A atau matriks proyeksi orthogonal. Perhatikan bahwa T R A y ∈ , maka berdasarkan persamaan 2.20 Rc Ac AA A z A y = = = − 1 T T T 2.23 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dengan A AA A R 1 − = T T 2.24 Sifat 2.1 Misalkan P adalah matriks proyeksi orthogonal berukuran n n × , dengan ] [ 1 A AA A I P − − = T T maka a. P P = 2 b. P P = T Bukti: a. Diketahui ] [ 1 A AA A I P − − = T T Maka ] [ ] [ 1 1 2 A AA A I A AA A I P − − − − = T T T T A AA A A AA A I I 1 1 2 2 − − + − = T T T T A AA A 1 − T T A AA A A AA A I 1 1 2 − − + − = T T T T = − = − A AA A I 1 T T P b. T P T T T ] [ 1 A AA A I − − = A AA A I T T T 1 − − = A AA A I 1 − − = T T T = − = − A AA A I 1 T T P . ▄

3. Transformasi Linear