Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat
239
Matematika
⇒ 1
1 3
n a
3z + 173z – 153z + 17 = 0 ⇒ 3z + 173z – 15 = 0 atau 3z + 17z – 5 = 0
Nilai-nilai z yang memenuhi adalah z = 1
1 3
17 3
− −
atau z = 5 atau himpunan penyelesaian persamaan 3z
2
+ 2z – 85 = 0 adalah Hp = 17
3 17
3 5
− −
, .
2 Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
♦ Minta siswa menemukan pola, bagaimana cara melengkapkan sebuah persamaan kuadrat untuk menentukan nilai-nilai x yang memenuhi dan tanyakan apa kelemahan
cara tersebut. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut.
Berdasarkan Deinisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat
ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1
≠ 0 dalam bentuk
≠ 0. Untuk ax
2
+ bx + c = 0 x
2
+ bx + c - c = 0 – c x
2
+ bx + =
– c
x + b
2
= –
c
2
2 1
b
2
2 1
b
2 1
2
2 1
b
1
1
≠ 0 dalam bentuk
≠ 0. Untuk
x + b = , jika
x = - b , jika
2 1
c b
2
2 1
2 1
2
c b
2 1
c b
2
2 1
2 1
2
c b
240 240
Buku Guru Kelas X
3 Menggunakan Rumus ABC
♦ Minta siswa menemukan rumus abc, bagaimana cara menentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan dengan rumus abc. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut.
Berdasarkan Deinisi-7.1, bentuk umum persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0.
≠ 0.
≠ 0
x
2
+ a
b x +
2
2
a
b = -
a c
+
2
2
a
b
x + a
b 2
2
=
2
2
a
b -
a c
x + a
b 2
=
2 2
4 4
a ac
b
x = - a
b 2
ac
b a
4 2
1
2
a ac
b b
x
,
2 4
2 2
1
–
≠ 0 ≠
wa
, c ada ≠ 0
≠ 0.
ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 x
2
+ a
b x +
a c
= 0 x
2
+ a
b x +
a c
= 0
b
c
b
c
b
b
–
≠ 0 ≠
wa
dalah bil ≠ 0
Menyuruh siswa melakukan mani-
pulasi aljabar, dengan mengingat
sifat persamaan.
Sifat-1
Persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0,
maka akar-akar persamaan tersebut adalah x
b b
ac a
1 2 2
4 2
,
= − ± −
.
♦ Suruh siswa mencermati nilai diskriminan dan menentukan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat. Diharapkan siswa dapat menemukan hal berikut.
241
Matematika
Berdasarkan rumus ABC di atas, akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
dan
a ac
b b
x 2
4
2 1
a ac
b b
x 2
4
2 2
b
c
gan a, ≠ 0
b
c
Sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan, yaitu D = b
2
– 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah. 1 Jika
D 0, maka persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0 memiliki dua akar real yang berbeda. Misalkan kedua akar tersebut x
1
dan x
2
, maka x
1
≠ x
2
. 2 Jika
D = 0, maka persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0 memiliki dua akar real yang sama kembar. Misalkan kedua akar tersebut x
1
dan x
2
, maka x
1
≠ x
2
. D = 0
⇒ b
2
– 4ac = 0 ⇒ b
ac
2
4 −
= ⇒ x
12
= b
b ac
a b
a
2
4 4
2 2
− ± −
= −
⇒ x
1
= x
2
= b
a 2
2 =
− 3 Jika
D 0, maka persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0 memiliki dua akar kompleks tidak real yang berbeda. Misalkan kedua akar tersebut x
1
dan x
2
, maka x
1
≠ x
2
.