Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

239 Matematika ⇒ 1 1 3 n a 3z + 173z – 153z + 17 = 0 ⇒ 3z + 173z – 15 = 0 atau 3z + 17z – 5 = 0 Nilai-nilai z yang memenuhi adalah z = 1 1 3 17 3 − − atau z = 5 atau himpunan penyelesaian persamaan 3z 2 + 2z – 85 = 0 adalah Hp = 17 3 17 3 5 − −       , . 2 Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna ♦ Minta siswa menemukan pola, bagaimana cara melengkapkan sebuah persamaan kuadrat untuk menentukan nilai-nilai x yang memenuhi dan tanyakan apa kelemahan cara tersebut. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut. Berdasarkan Deinisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1         ≠ 0 dalam bentuk ≠ 0. Untuk ax 2 + bx + c = 0  x 2 + bx + c - c = 0 – c  x 2 + bx + = – c  x + b 2 = – c     2 2 1       b 2 2 1       b 2 1 2 2 1       b 1                1                        ≠ 0 dalam bentuk ≠ 0. Untuk     x + b =  , jika  x = - b  , jika                   2 1 c b        2 2 1 2 1 2         c b 2 1 c b        2 2 1 2 1 2         c b 240 240 Buku Guru Kelas X 3 Menggunakan Rumus ABC ♦ Minta siswa menemukan rumus abc, bagaimana cara menentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan dengan rumus abc. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut. Berdasarkan Deinisi-7.1, bentuk umum persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. ≠ 0. ≠ 0    x 2 + a b x + 2 2       a b = - a c + 2 2       a b  x + a b 2 2 = 2 2       a b - a c  x + a b 2 =         2 2 4 4 a ac b  x = - a b 2  ac b a 4 2 1 2   a ac b b x , 2 4 2 2 1     – ≠ 0 ≠ wa , c ada ≠ 0     ≠ 0. ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0  x 2 + a b x + a c = 0  x 2 + a b x + a c = 0  b       c        b       c  b          b        – ≠ 0 ≠ wa dalah bil ≠ 0     Menyuruh siswa melakukan mani- pulasi aljabar, dengan mengingat sifat persamaan. Sifat-1 Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0, maka akar-akar persamaan tersebut adalah x b b ac a 1 2 2 4 2 , = − ± − . ♦ Suruh siswa mencermati nilai diskriminan dan menentukan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat. Diharapkan siswa dapat menemukan hal berikut. 241 Matematika Berdasarkan rumus ABC di atas, akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. dan    a ac b b x 2 4 2 1     a ac b b x 2 4 2 2           b                          c gan a, ≠ 0  b  c Sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan, yaitu D = b 2 – 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah. 1 Jika D 0, maka persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 memiliki dua akar real yang berbeda. Misalkan kedua akar tersebut x 1 dan x 2 , maka x 1 ≠ x 2 . 2 Jika D = 0, maka persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 memiliki dua akar real yang sama kembar. Misalkan kedua akar tersebut x 1 dan x 2 , maka x 1 ≠ x 2 . D = 0 ⇒ b 2 – 4ac = 0 ⇒ b ac 2 4 − = ⇒ x 12 = b b ac a b a 2 4 4 2 2 − ± − = − ⇒ x 1 = x 2 = b a 2 2 = − 3 Jika D 0, maka persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 memiliki dua akar kompleks tidak real yang berbeda. Misalkan kedua akar tersebut x 1 dan x 2 , maka x 1 ≠ x 2 .

c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar sebuah persamaan kuadrat adalah bilangan-bilangan yang dapat dijumlahkan atau dikalikan. Bagaimana menentukan hasil jumlah dan hasil kali akar- akar dan kaitannya dengan koeisien-koeisien persamaan kuadrat tersebut? Untuk itu selesaikanlah masalah berikut. Temukan aturan rumus menentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ♦ Mengarahkan siswa menemukan rumus hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dengan memanfaatkan rumus ABC. Diharapkan siswa dapat melakukan hal berikut. 242 242 Buku Guru Kelas X a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat x 1 + x 2 = + x 1 + x 2 =            a ac b b 2 4 2    a ac b b 2 4 2    a b                          c 0, den ≠ 0  b  b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat x 1  x 2 = x 1  x 2 = x 1  x 2 =                           a ac b b 2 4 2            a ac b b 2 4 2 2 2 2 4 4 a ac b b   a c dengan ≠ 0  b  c Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Sifat-2 Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan akar-akar x 1 dan x 2 , maka diperoleh x x b a x x c a 1 2 1 2 + = − × = dan

d. Persamaan Kuadrat Dengan Akar-akar x

1 dan x 2 Pada materi sebelumnya kita telah menemukan konsep persamaan kuadrat. Kemudian kita dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan aturan-aturan yang telah ditemukan. Sekarang bagaimana menemukan sebuah persamaan kuadrat, jika akar-akarnya diketahui ? Untuk itu pecahkanlah masalah berikut. Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar x 1 dan x 2 . Temukanlah persamaan kuadrat yang dimaksud. ♦ Mengarahkan siswa menemukan persamaan kuadrat, jika diketahui akar-akarnya dengan memanfaatkan rumus hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan yang diinginkan. Diharapkan siswa dapat melakukan hal berikut. 243 Matematika Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x 1 dan x 2 maka kita dapat menemukan persamaan kuadratnya. Berdasarkan deinisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ⇒ x 2 + b c x c a + = 0 ⇒ x 2 – x 1 + x 2 x + x 1 × x 2 = 0 ⇒ x – x 1 x –x 2 x – x 1 = 0 ⇒ x – x 1 x – x 2 = 0 Sifat-3 Persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2 adalah x – x 1 x – x 2 = 0. ≠ 0 ≠ 0  b c  –   x    – – –  – – x 1 + x 2 = a b  x 1  x 2 = a c – 1. Persamaan m – 1x 2 + 4x + 2m = 0 mempunyai akar-akar real. Tentukan nilai m yang memenuhi 2. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, tunjukkan bahwa 3. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 – 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Temukan persamaan kuadrat yang akar- akarnya p + 2 dan q + 2 4. Dua buah jenis mesin penggiling padi digunakan untuk menggiling satu peti padi. Untuk menggiling satu peti padi, mesin jenis pertama   a.  4 +  4 =   4. persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah 4 2 2 2 4 2 4 a c a c ab b    7.7 B     b.  -  2 = 4. persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah   2 2 4 a ac b  7.7 nan sek lebih cepat 1 2 jam dari mesin jenis kedua. Sementara jika kedua mesin digunakan sekaligus, dapat menggiling satu peti padi selama 6 jam. a. Berapa jam waktu yang digu- nakan mesin jenis pertama untuk menggiling satu peti padi. b. Berapa jam waktu yang diguna- kan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti padi. 5. Jika a 2 + a – 3 = 0, maka nilai terbesar yang mungkin dari a 3 +4 a 2 + 9988 adalah .... 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah dapat dilihat pada gambar. Uji Kompetensi 7.2