Induksi Matematika Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika
209
Matematika
Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan banyaknya batu bata yang dibutuhkan dalam membuat anak
tangga pertama sampai anak tangga yang ke 80 dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas dapat disimpulkan bahwa banyak batu bata yang dibutuhkan untuk membuat 80 buah anak tangga:
40 + 40 + 40 + 40 + 40 40 + 40 + 40 + 40
... 40
+ +
+ +
+ 40 + 40 + 40
40 + 40
Tangga ke-80
Tangga ke-4
Tangga ke-...
Tangga ke-3
Tangga ke-2
Tangga ke-1
Susunan banyak batu bata membentuk barisan aritmetika: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280,320, 360, 400,….
Cukup jelas, bahwa, u
1
= 40 dan b = 40. Karena pertanyaan dalam masalah ini adalah banyak batu bata yang diperlukan untuk
membuat 80 anak tangga, bukan banyak batu bata yang diperlukan membuat tangga ke-80 maka banyak batu bata harus dijumlahkan.
40 80 120 160
200 240
280 320 400
3160 3200 +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ ...
sebanyak 80 suku
s
n
adalah jumlah n suku pertama pada barisan. Perhatikan pola berikut: • s
2
= 40 + 80 = 40 80
2 2
+ ×
= 120 • s
4
= 40 + 80 + 120 + 160 = 40 160
4 2
+ ×
= 400 • s
6
= 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 = 40
240 6
2 +
× = 840 • s
8
= 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 = 40 320
8 2
+ ×
= 1440. Jadi, untuk menghitung jumlah 80 suku pertama, dilakukan dengan pola di atas,
s
80
= 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 360 + 400 + … + 3160 + 3200
210 210
Buku Guru Kelas X
= 40 3200
80 2
+ ×
= 129.000. Jadi, banyak batu bata yang diperlukan untuk membuat 80 anak tangga adalah
129.000 buah batu bata.
♦ Guru mengarahkan siswa menyelidiki rumusan pola untuk menghitung jumlah 3 suku pertama, 5 suku pertama, 15 suku pertama.
♦ Guru memastikan siswa mampu memanipulasi cara pembentukan pola di atas.
Susunan jumlah suku-suku barisan aritmetika, dinyatakan sebagai berikut. s
1
= u
1
s
2
= u
1
+ u
2
s
3
= u
1
+ u
2
+ u
3
s
4
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ u
4
... s
n–1
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ u
4
+ u
5
+ … + u
n–1
s
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ u
4
+ u
5
+ … + u
n–1
+ u
n
n merupakan bilangan asli.
Deret aritmetika adalah barisan jumlah n suku pertama barisan aritmetika, s
1
, s
2
, s
3
, ..., s
n–1
, s
n
, … dengan s
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ ... + u
n–1
+ u
n
Deinisi 6.2
Untuk menentukan jumlah n suku pertama, ditentukan rumus berikut: s
n
= a + a + b + a + 2b + … + a + n – 1b ……………. 1
Persamaan 1 diubah menjadi s
n
= a + n – 1b + … + a + 2b + a + b + a …………….. 2
Dengan menjumlahkan persamaan 1 dan 2, diperoleh: 2s
n
= 2a + n – 1b + 2a + n – 1b + 2a + n – 1b + … + 2a + n – 1b 2s
n
= n 2a + n – 1b s
n
= 1
2 2
1 n
a n
b +
−